线性系统稳定性分析

Stability Analysis of Linear System

系统分析的前提是稳定

一、基础概念

稳定性：系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能
李雅普诺夫稳定性理论：线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐近稳定

经典控制理论的稳定性属于Lyapunov稳定性中的渐进稳定

线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部，或闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面。（实部决定收敛和发散，虚部决定是否振荡）

在状态空间形式中，齐次线性定常系统写作

\dot{x} = A x, x (t) = e^{A t} x (0) .

因此闭环特征根就是系统矩阵 $A$ 的特征值。若 $A v = λ v$ ，则对应模态为

x (t) = e^{λ t} v .

这解释了为什么连续系统看 $Re λ$ ：实部决定 $e^{Re λ t}$ 的衰减或增长，虚部只决定振荡。

二、线性系统稳定判据

闭环特征方程： $D (s) = a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0} = 0$

1. 赫尔维茨判据

必要条件：特征方程的各项系数为正数
充分必要条件：由特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式全部为正

$n = 1 :$ 特征方程的各项系数为正
$n = 2 :$ 特征方程的各项系数为正
$n = 3 :$ 特征方程的各项系数为正，且 $a_{1} a_{2} - a_{0} a_{3} > 0$
$n = 4 :$ 特征方程的各项系数为正，且 $Δ_{2} = a_{1} a_{2} - a_{0} a_{3} > 0$ , 以及 $Δ_{2} > \frac{a_{3} a_{0}}{a_{1}^{2}}$

2. 劳斯判据

$D (s) = a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0} = 0$
劳斯表：

$s^{n}$	$a_{n}$	$a_{n - 2}$	$a_{n - 4}$	$\dots$
$s^{n - 1}$	$a_{n - 1}$	$a_{n - 3}$	$a_{n - 5}$	$\dots$
$s^{n - 2}$	$L_{31}$	$L_{32}$	$L_{33}$	$\dots$
$s^{n - 3}$	$L_{41}$	$L_{42}$	$L_{43}$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$s^{0}$	$\dots$

\begin{array}{r} L_{31} = - \frac{1}{a_{n - 1}} | \begin{array}{c} a_{n} & a_{n - 2} \\ a_{n - 1} & a_{n - 3} \end{array} | \\ L_{32} = - \frac{1}{a_{n - 1}} | \begin{array}{c} a_{n} & a_{n - 4} \\ a_{n - 1} & a_{n - 5} \end{array} | \\ L_{33} = - \frac{1}{a_{n - 1}} | \begin{array}{c} a_{n} & a_{n - 6} \\ a_{n - 1} & a_{n - 7} \end{array} | \\ L_{41} = - \frac{1}{L_{31}} | \begin{array}{c} a_{n - 1} & a_{n - 3} \\ L_{31} & L_{32} \end{array} | \\ L_{42} = - \frac{1}{L_{31}} | \begin{array}{c} a_{n - 1} & a_{n - 5} \\ L_{31} & L_{33} \end{array} | \end{array}

系统稳定的充分必要条件：第一列各值为正值

第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目
如果第一列中出现负值，系统不稳定

注意

计算劳斯表时，不要漏掉负号

特殊情况

某一行第一项为 0，而其余项不全为 0
用一个很小的正数 $ε$ 替代 0
只是判断极限是大于零还是小于零即可, 所以从正半轴趋于零
出现全零行
说明有大小相等、方向相反的根
零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以该多项式导数的系数代替全零行

例如:
$s^{4} 2 3 4$
$s^{3} 0 0 0$
$F (s) = 2 s^{4} + 3 s^{2} + 4$
以该多项式求导的系数代替全零行
$F^{'} (s) = 8 s^{3} + 6 s$
$s^{3} 8 6 0$

变例

如果问在 $s = x_{0}$ 的右侧，直接 变量代换 $s = x_{0} + z z = s - x_{0}$
将 $f (s) \to g (z)$ 然后再沿用之前的计算方法

3. 李纳德 -戚帕特判据

三、与微分方程组的联系

二阶常系数方程

u^{″} + B u^{'} + C u = 0

可用状态向量 $(u, u^{'})^{T}$ 化为一阶系统：

{(\begin{matrix} u \\ u^{'} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - C & - B \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ u^{'} \end{matrix}) .

这个矩阵的特征方程是

λ^{2} + B λ + C = 0,

与直接令 $u = e^{λ t}$ 得到的特征方程一致。所以控制中的闭环极点、微分方程的特征根、状态矩阵的特征值描述的是同一组模态。

离散系统或数值差分系统不能沿用左半平面判据。若

U_{n + 1} = A U_{n},

长期行为由 $A^{n}$ 决定，应检查 $| λ |$ 。例如前向差分近似 $y^{″} = - y$ 时会出现特征值 $1 \pm i Δ t$ ，其模长大于 $1$ ，所以轨道向外螺旋；连续原系统的特征值 $i, - i$ 只表示中性振荡。