复数

Complex number

起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中出现负数开平方的情况

虚数

虚数单位 $i$
定义： $i^{2} = - 1$
$i$ 的幂次在 $i - 1 - i 1$ 中循环

\begin{array}{r} i^{4 n} = 1 i^{4 n + 1} = i i^{4 n + 2} = - 1 i^{4 n + 3} = - i \end{array}

复数

对于两实数 $x y$
$z = x + i y$
$i$ 为虚数单位

实部 real part ： $Re$ $z = x$
虚部 imaginary part： $Im$ $z = y$

复数相等的充要条件：
实部和虚部分别相等

注意

这一充要条件似乎“天经地义”，“理所当然”
但实际上有很多用处

比如可以化简诸如 $\sqrt{5 + 12 i}, \sqrt{- i}$ 等根式
直接令 $\sqrt{5 + 12 i} = x + i y$
再利用复数相等，实部与虚部的相等，即可求得
$5 + 12 i = x^{2} - y^{2} + 2 x y i$
(复数中无法定义大小关系)

四则运算

\begin{aligned} z_{1} = x_{1} + i y_{1} z_{2} = x_{2} + i y_{2} \\ z_{1} \pm z_{2} = (x_{1} \pm x_{2}) + i (y_{1} \pm y_{2}) \\ z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{2} y_{1} + x_{1} y_{2}) \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} \bar{z_{2}}}{z_{2} \bar{z_{2}}} \end{aligned}

共轭复数

Conjugate
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数
$z = x + i y$
$\overset{―}{z} = x - i y$

\begin{aligned} z \cdot \overset{―}{z} & = (x + i y) (x - i y) \\ = x^{2} - (i y)^{2} \\ = x^{2} + y^{2} \\ = [R e (z)]^{2} + [I m (z)]^{2} \end{aligned}

两个共轭复数的积为一个实数
常常使用此来对分式进行化简
（上下同乘分母的共轭复数）
$z + \overset{―}{z} = 2 R e (z)$
$z - \overset{―}{z} = 2 i I m (z)$
$\overset{―}{\overset{―}{z}} = z$

复数的几何表示

graph LR
几何表示---> 复平面 & 复球面

复数与复平面中的向量对应起来
复数可以表示平面向量，所以有关平面向量的问题可以用复变函数来研究

三角表示和指数表示

$z$ 对应向量 $\vec{O z}$

模： $∣ z ∣$ 为对应向量的长度
$∣ z ∣$ = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

辐角： $\vec{O z}$ 与实轴正向的夹角
$A r g$ 一般表示，不受限制地取辐角的任意值
$A r g z = θ$

$z = 0$ 模为 0，而辐角不确定

主辐角: 辐角的主值
辐角限制在 $- π$ 与 $π$ 之间

a r g z = {\begin{cases} \arctan \frac{y}{x} x > 0 \\ \frac{π}{2} x = 0, y > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + π x < 0, y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - π x < 0, y < 0 \\ - \frac{π}{2} x = 0, y < 0 \end{cases}

$a r g z \in (- π, π]$
$A r g z = a r g z + 2 k π$

三角表示： $z = r (\cos θ + i \sin θ)$
指数表示： $z = r e^{i θ}$ （由欧拉公式）

注意

表示成三角函数或者指数函数时，不要遗漏虚数单位 $i$
最好画一个简易的图，不要搞错实部、虚部、符号、模的大小...... 等小细节
也要注意三角表示和指数表示的形式
如果形式不为标准形式，应该先利用三角函数来转化为标准形式

复数的运算

1.乘除法

\begin{aligned} z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) = r_{1} e^{i θ_{1}} \\ z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) = r_{2} e^{i θ_{2}} \\ | z_{1} \cdot z_{2} | = r_{1} r_{2} \\ A r g (z_{1} \cdot z_{2}) = A r g z_{1} + A r g z_{2} \\ z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})} \\ | \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{r_{1}}{r_{2}} \\ A r g \frac{z_{1}}{z_{2}} = A r g z_{1} - A r g z_{2} \\ \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{r_{2}}{r_{1}} e^{i (θ_{2} - θ_{1})} \end{aligned}

几何意义
乘法：

模等于两个复数模的乘积
辐角等于两个复数辐角的和
模长伸长，逆时针旋转角度

除法：

模等于两个复数模的商
辐角等于被除数与除数的辐角之差
模长缩短，顺时针旋转角度

2.乘方开方

De Moivre 公式

\begin{aligned} z^{n} & = [r (\cos θ + i \sin θ)]^{n} \\ = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ) \\ = r^{n} e^{i (n θ)} \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt[n]{z} & = [r (\cos θ + i \sin θ)]^{1 / n} \\ = r^{1 / n} [\cos (\frac{1}{n} (θ + 2 k π)) + i \sin (\frac{1}{n} (θ + 2 k π))] \\ = r^{1 / n} e^{i (\frac{1}{n} (θ + 2 k π))} \end{aligned}

$(k = 0, 1, 2 \dots, n - 1)$

注意开 $n$ 次根号有 $n$ 个值

例题：
解方程 $(1 + z)^{5} = (1 - z)^{5}$

$(\frac{1 + z}{1 - z})^{5} = 1 ω = \frac{1 + z}{1 - z}$
$ω = \sqrt[5]{1} ω = e^{i (0 + 2 k π) / 5} = e^{i α}$

\begin{aligned} z & = \frac{ω - 1}{ω + 1} = \frac{e^{i α} - 1}{e^{i α} + 1} \\ = \frac{\cos α + i \sin α - 1}{\cos α + i \sin α + 1} \\ = \frac{2 \sin \frac{α}{2} (- \sin \frac{α}{2} + i \cos \frac{α}{2})}{2 \cos \frac{α}{2} (\cos \frac{α}{2} + i \sin \frac{α}{2})} \\ = i \tan \frac{α}{2} \end{aligned}

所以根为：
$z_{0} = 0$
$z_{1} = i \tan \frac{π}{5}$
$z_{2} = i \tan \frac{2 π}{5}$
$z_{3} = i \tan \frac{3 π}{5}$
$z_{4} = i \tan \frac{4 π}{5}$

AI 结构化补充（2026-05-02）

Complex number

起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中出现负数开平方的情况

复数的基本规则可以压缩为两个核心事实：代数上使用 $i^{2} = - 1$ ，几何和周期性上使用 $e^{2 π i} = 1$ 。

虚数

虚数单位 $i$
定义： $i^{2} = - 1$
$i$ 的幂次在 $i - 1 - i 1$ 中循环

\begin{array}{r} i^{4 n} = 1 i^{4 n + 1} = i i^{4 n + 2} = - 1 i^{4 n + 3} = - i \end{array}

复数

对于两实数 $x y$
$z = x + i y$
$i$ 为虚数单位

实部 real part ： $Re$ $z = x$
虚部 imaginary part： $Im$ $z = y$

复数相等的充要条件：
实部和虚部分别相等

注意

这一充要条件似乎“天经地义”，“理所当然”
但实际上有很多用处

在通常记号中也写作 $z = a + b i$ ，其中 $a = Re z$ ， $b = Im z$ 。当 $b = 0$ 时，实数就是复数的特例。

四则运算

\begin{aligned} z_{1} = x_{1} + i y_{1} z_{2} = x_{2} + i y_{2} \\ z_{1} \pm z_{2} = (x_{1} \pm x_{2}) + i (y_{1} \pm y_{2}) \\ z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{2} y_{1} + x_{1} y_{2}) \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} \bar{z_{2}}}{z_{2} \bar{z_{2}}} \end{aligned}

加法把实部和虚部分别相加，乘法则先按多项式展开，再把 $i^{2}$ 换成 $- 1$ ：

(3 + 2 i) (1 - i) = 3 - 3 i + 2 i - 2 i^{2} = 5 - i .

另一个典型例子是

(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i, (2 i)^{2} = - 4.

$1 + i$ 的辐角是 $π / 4$ ，平方后辐角变为 $π / 2$ ；再平方后辐角变为 $π$ ，对应负实轴方向。这说明复数乘法会在平面中产生角度相加，平方就是角度翻倍。

共轭复数

Conjugate
实部相同而虚部符号相反的两个复数互为共轭
$z = x + i y$
$\overset{―}{z} = x - i y$

\begin{aligned} z \cdot \overset{―}{z} & = (x + i y) (x - i y) \\ = x^{2} - (i y)^{2} \\ = x^{2} + y^{2} \\ = [R e (z)]^{2} + [I m (z)]^{2} \end{aligned}

对 $z = a + b i$ ，共轭是 $\bar{z} = a - b i$ 。共轭与加法、乘法相容：

\overset{―}{z_{1} + z_{2}} = {\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2}, \overset{―}{z_{1} z_{2}} = {\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} .

它也给出模长和倒数：

z \bar{z} = (a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2} = | z |^{2},

\frac{1}{a + i b} = \frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}} .

这个公式要求 $z \neq 0$ ，也就是 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ；分母为零只会发生在 $a = b = 0$ 。
因此当 $| z | = 1$ ，也就是 $z$ 在单位圆上时， $z \bar{z} = 1$ ，所以

\frac{1}{z} = \bar{z} .

这个性质在实矩阵的复特征值中很重要。若 $A$ 是实矩阵且

A x = λ x,

两边取共轭得

A \bar{x} = \bar{λ} \bar{x} .

因此实矩阵的非实复特征值总是以共轭对 $λ, \bar{λ}$ 出现，对应特征向量也成共轭对。

复数的几何表示

graph LR
几何表示---> 复平面 & 复球面

复数与复平面中的向量对应起来
复数可以表示平面向量，所以有关平面向量的问题可以用复变函数来研究

具体地说，复数

z = a + b i

对应复平面中的点或向量 $(a, b)$ 。加法

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

就是平面向量 $(a, b) + (c, d)$ 的加法；但乘法

(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

不是普通向量乘法，而是复数结构特有的运算。它可以看成矩阵

[\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}] [\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} a c - b d \\ b c + a d \end{matrix}],

即先缩放再旋转的平面线性变换。