随机变量

Random Variable) $XYZ$
定义在样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 上的单值实值函数 ，为随机取值的变量

在实际问题的解决中，根据实际情景的分析，明确试验，设出随机变量，是最为关键的一步！

一、基本定义

定义：对样本空间 $\mathrm{\Omega }$ 中每个基本事件 $\omega$ 都有唯一实数 $X(\omega )$ 与之对应，则称 $X(\omega )$ 为随机变量, 简记为 $X$ (一般用大写字母表示随机变量，小写字母表示取值，$X$, $Y$, $Z$ 表示随机变量 $x$, $y$, $z$ 表示随机变量的取值)

1. 定义在样本空间上的函数
2. 取值有一定的概率规律
3. 随机事件从静态的角度研究随机现象，随机变量从动态的角度研究随机现象

统计描述

1. 使用分布函数： $P\{X\le x\}$ 适用于讨论所有随机变量的分布规律
2. 使用数字期望更集中、更概括地反映随机变量的特征

二、随机变量的分类

graph LR
随机变量 --> 1[取值方式] & 2[维度]
1 ---> 离散型 
1--> 3[非离散型]
3--> 连续型 & 非连续型
2---> 一维 & 二维 & 高维

主要按照按取值的方式不同进行分类

离散随机变量

• 随机变量的取值为有限个或可列个
• 分布函数为右连续的阶梯函数
• 在可能取值上的点的概率不为 0

连续随机变量

• 随机变量的取值为不可列个
• 分布函数为整个实轴上的连续函数
• 在实轴上的任一点的取值概率恒为 0

不可能事件的概率为 0，但是概率为 0 的事件不一定是不可能事件
必然事件的概率为 1，但是概率为 1的事件不一定是必然事件

三、理解与扩展

更高维度：多维随机变量
时间动态：随机过程

取值、权重与密度

随机变量需要区分“已经观测到的样本值”和“未来试验的可能取值”。离散随机变量 $x$ 可以取 $x_1,\dots ,x_n$，每个取值配概率 $p_i$，于是

当年龄按天或按连续实数度量时，离散取值转为连续变量，概率由密度 $p(x)$ 与分布函数 $F(x)$ 描述：

这给出随机变量的两种基本表示：离散时看取值列表与概率权重，连续时看密度曲线和积分面积。