正态分布

Normal Distribution) $X \sim N (μ, σ^{2}$

随机变量服从参数为 $μ$ 、 $σ$ 的正态分布/高斯分布 (高斯加以推广)

广泛应用的最重要的一种分布，展现了大自然均衡的力量

中心极限定理：一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，则满足正态分布
二项分布、泊松分布、伽马分布的极限分布均为正态分布

一、基础知识

正态分布的概率密度函数 $f (x)$ 和分布函数 $F (x)$ 分别如下：

\begin{aligned} f (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} - \infty < x < + \infty \\ F (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \int_{- \infty}^{x} \exp (- \frac{(t - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d t \end{aligned}

期望： $E (X) = μ$ ，位置参数
方差： $D (X) = σ^{2}$ ，形状参数

二、标准正态分布

$X \sim N (0, 1)$

\begin{aligned} φ (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} - \infty < x < + \infty \\ Φ (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t \end{aligned}

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t = 1 \end{array}

标准正态分布的分布函数的值有表可查，所以一般都转为标准正态分布计算

一般正态分布标准化

$X \sim N (μ, σ^{2}) Y = \frac{X - μ}{σ} Y \sim N (0, 1)$

一般的计算

根据图像，容易得到：如果 $X \sim N (0, 1)$ 满足标准正态分布，则有

\begin{aligned} P {X \leq - x} = P {X \geq x} \\ P {X > x} = 1 - P {X \leq x} = 1 - Φ (x) \\ P {x_{1} < X < x_{2}} = Φ (x_{2}) - Φ (x_{1}) \\ P {- x < X < x} = 2 Φ (x) - 1 \end{aligned}

特定积分值

从中得到的特定的积分值：

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x & = \sqrt{2 π} \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \frac{\sqrt{2 π}}{2} \end{aligned}

3σ原则

如果随机变量服从 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $X$ 落到 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 的概率相当大，几乎必然落到这个区间

\begin{aligned} P {| X - μ | < σ} & = 0.6826 \\ P {| X - μ | < 2 σ} & = 0.9545 \\ P {| X - μ | < 3 σ} & = 0.9974 \end{aligned}

上 $α$ 分位点

上分位点（只是一个记号，将一个点和大于该点的概率联系起来）

\begin{aligned} P {X > Z_{α}} = α 0 < α < 1 \\ Φ (Z_{α}) = 1 - α \\ Z_{1 - α} = - Z_{α} \end{aligned}

扩展与应用

多维正态分布
 正态总体的假设检验
 随机过程#正态过程

AI 结构化补充（2026-05-02）

Normal Distribution) $X \sim N (μ, σ^{2}$

随机变量服从参数为 $μ$ 、 $σ$ 的正态分布/高斯分布 (高斯加以推广)

广泛应用的最重要的一种分布，展现了大自然均衡的力量

中心极限定理：一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，则满足正态分布
二项分布、泊松分布、伽马分布的极限分布均为正态分布

一、基础知识

正态分布的概率密度函数 $f (x)$ 和分布函数 $F (x)$ 分别如下：

\begin{aligned} f (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} - \infty < x < + \infty \\ F (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \int_{- \infty}^{x} \exp (- \frac{(t - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d t \end{aligned}

期望： $E (X) = μ$ ，位置参数
方差： $D (X) = σ^{2}$ ，形状参数

二、标准正态分布

$X \sim N (0, 1)$

\begin{aligned} φ (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} - \infty < x < + \infty \\ Φ (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t \end{aligned}

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t = 1 \end{array}

标准正态分布的分布函数的值有表可查，所以一般都转为标准正态分布计算

一般正态分布标准化

$X \sim N (μ, σ^{2}) Y = \frac{X - μ}{σ} Y \sim N (0, 1)$

一般的计算

根据图像，容易得到：如果 $X \sim N (0, 1)$ 满足标准正态分布，则有

\begin{aligned} P {X \leq - x} = P {X \geq x} \\ P {X > x} = 1 - P {X \leq x} = 1 - Φ (x) \\ P {x_{1} < X < x_{2}} = Φ (x_{2}) - Φ (x_{1}) \\ P {- x < X < x} = 2 Φ (x) - 1 \end{aligned}

特定积分值

从中得到的特定的积分值：

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x & = \sqrt{2 π} \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2} / 2} d x = \frac{\sqrt{2 π}}{2} \end{aligned}

3σ原则

如果随机变量服从 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $X$ 落到 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 的概率相当大，几乎必然落到这个区间

\begin{aligned} P {| X - μ | < σ} & = 0.6826 \\ P {| X - μ | < 2 σ} & = 0.9545 \\ P {| X - μ | < 3 σ} & = 0.9974 \end{aligned}

上 $α$ 分位点

上分位点（只是一个记号，将一个点和大于该点的概率联系起来）

\begin{aligned} P {X > Z_{α}} = α 0 < α < 1 \\ Φ (Z_{α}) = 1 - α \\ Z_{1 - α} = - Z_{α} \end{aligned}

扩展与应用

多维正态分布
 正态总体的假设检验
 随机过程#正态过程

标准化与概率尺度

正态分布的重要性来自中心极限定理：许多重复实验的平均值会趋近正态。标准正态为

p (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}, E [x] = 0, E [x^{2}] = 1.

一般正态通过平移与缩放化为标准正态：

X = \frac{x - m}{σ} .

常用概率尺度是：随机值落在 $m - σ$ 到 $m + σ$ 的概率约为 $2 / 3$ ，落在 $m - 2 σ$ 到 $m + 2 σ$ 的概率约为 $0.95$ 。这正是标准化后用 $F (1) - F (- 1)$ 、 $F (2) - F (- 2)$ 读密度曲线下的面积。

平移缩放与分布函数

标准正态分布写作 $Z \sim N (0, 1)$ ，密度为

p_{Z} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} .

一般正态分布由标准正态平移和缩放得到：

X = m + σ Z, p_{X} (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- (x - m)^{2} / (2 σ^{2})} .

对应的分布函数满足

F_{X} (x) = P (X \leq x) = Φ (\frac{x - m}{σ}),

其中

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t .

$Φ (x)$ 没有初等函数闭式，实际计算依赖数值积分、查表或统计软件。区间概率仍由面积给出：

P (a \leq X \leq b) = F_{X} (b) - F_{X} (a) .

常用尺度为

P (| X - m | \leq σ) \approx \frac{2}{3}, P (| X - m | \leq 2 σ) \approx 0.95 .

这些近似适用于正态模型本身；对重尾分布、偏态分布或样本量很小的经验分布，不能直接把 $1 σ$ 、 $2 σ$ 当作同样的概率保证。

一、基础知识

二、标准正态分布

一般正态分布标准化

一般的计算

特定积分值

3σ原则

上 α 分位点

扩展与应用

AI 结构化补充（2026-05-02）

一、基础知识

二、标准正态分布

一般正态分布标准化

一般的计算

特定积分值

3σ原则

上 α 分位点

扩展与应用

标准化与概率尺度

平移缩放与分布函数

上 $α$ 分位点

上 $α$ 分位点