概率密度函数

Probability Density Function PDF

\begin{array}{r} F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t \end{array}

性质：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1

一般使用此来计算概率密度中的未知参数

P {x_{1} < X \leq x_{2}} = F (x_{2}) - F (x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) d x

已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f (x) = \frac{A}{e^{x} + e^{- x}} (- \infty < x < + \infty)$
求概率 $P {0 < X < \frac{1}{2} \ln 3}$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{A}{e^{2 x} + 1} d e^{x} \\ = A \arctan e^{x} ∣_{- \infty}^{+ \infty} \\ = A \cdot \frac{π}{2} = 1 \\ A & = \frac{2}{π} \\ f (x) & = \frac{2}{π} \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} \\ F (x) & = \frac{2}{π} \arctan e^{x} - 0 \\ P {0 < X < \frac{1}{2} \ln 3} & = F (\frac{1}{2} \ln 3) - F (0) \\ = \frac{2}{π} (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{6} \end{aligned}

AI 结构化补充（2026-05-02）

Probability Density Function PDF

\begin{array}{r} F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t \end{array}

性质：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1

一般使用此来计算概率密度中的未知参数

P {x_{1} < X \leq x_{2}} = F (x_{2}) - F (x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) d x

已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f (x) = \frac{A}{e^{x} + e^{- x}} (- \infty < x < + \infty)$
求概率 $P {0 < X < \frac{1}{2} \ln 3}$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{A}{e^{2 x} + 1} d e^{x} \\ = A \arctan e^{x} ∣_{- \infty}^{+ \infty} \\ = A \cdot \frac{π}{2} = 1 \\ A & = \frac{2}{π} \\ f (x) & = \frac{2}{π} \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} \\ F (x) & = \frac{2}{π} \arctan e^{x} - 0 \\ P {0 < X < \frac{1}{2} \ln 3} & = F (\frac{1}{2} \ln 3) - F (0) \\ = \frac{2}{π} (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{6} \end{aligned}

概率密度函数 $p (x)$ 描述的是单位长度上的概率强度，而不是单点概率。对连续随机变量 $X$ ，任意单点都没有面积：

P (X = c) = \int_{c}^{c} p (x) d x = 0.

因此连续分布中真正要计算的是区间概率：

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} p (x) d x = F (b) - F (a),

其中 $F (x) = \int_{- \infty}^{x} p (t) d t$ 是分布函数。端点写成 $<$ 、 $\leq$ 通常不改变连续分布的结果，因为端点本身的概率为 $0$ 。

若 $X$ 在 $[17, 20]$ 上均匀分布，则

p (x) = {\begin{cases} \frac{1}{3}, & 17 < x < 20, \\ 0, & otherwise, \end{cases} F (x) = \frac{x - 17}{3} (17 \leq x \leq 20) .

例如

P (17.5 \leq X \leq 18.5) = \int_{17.5}^{18.5} \frac{1}{3} d x = \frac{1}{3} .

区间中点 $m = 18.5$ 是均值，并且

F (m) = F (18.5) = \frac{1}{2}, σ^{2} = \frac{(20 - 17)^{2}}{12} = \frac{3}{4} .

更一般地，若 $X$ 在 $[0, a]$ 上均匀分布，则

p (x) = \frac{1}{a}, F (x) = \frac{x}{a}, m = \frac{a}{2}, σ^{2} = \frac{a^{2}}{12} .