条件概率

Conditional Probability

一、条件概率

事件 B 发生情况下事件 A 发生的概率

P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}

对单独的两个事件而言，各自发生的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响

但是，如果已知一个事件发生，则需要对另一个事件发生的概率重新考虑（一个事件发生，会改变基本空间 (样本空间) 的大小，进而改变另一个事件的概率）

二、乘法公式

$P (A B) = P (B) P (A ∣ B) = P (A) P (B ∣ A)$
$P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1})$

例题 100 个零件，10 件次品，不放回抽样依次抽取 3 次，求第三次才抽到合格品的概率
解答设 $A_{i}$ 为第 $i$ 次抽到合格品的事件，也即求 $P (\overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}} A_{3})$ 的概率

\begin{aligned} P (\overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}} A_{3}) & = P (\overset{―}{A_{1}}) P (\overset{―}{A_{2}} ∣ \overset{―}{A_{1}}) P (A_{3} ∣ \overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}}) \\ = \frac{10}{100} \cdot \frac{9}{99} \cdot \frac{90}{98} \end{aligned}

或者将抽取 3 次看为一个事件古典概型

P = \frac{A_{10}^{2} \cdot 90}{A_{100}^{3}} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 90}{100 \cdot 99 \cdot 98}

三、全概率公式

Law of Total Probability

已知原因找结果

$B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 为 $Ω$ 的一个分割/完备事件组/划分，满足：

$B_{i} B_{j} = \emptyset, i \neq j i, j = 1, 2 \dots n$
$⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω$

已知每个划分及每个划分中 A 发生的概率，求 A 发生的概率

\begin{array}{r} P (A) = P (⋃_{i = 1}^{n} A B_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A B_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i}) \end{array}

$A$ 可理解为事件发生的结果
$B_{i}$ 可理解为导致 $A$ 发生的原因

最简单的形式： $P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overset{―}{B}) P (A ∣ \overset{―}{B})$

四、贝叶斯公式

Bayes' Theorem 贝叶斯公式

已知结果找原因

$B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 为 $Ω$ 的一个分割/完备事件组/划分
已知事件 A 发生，求其中一个划分的概率

\begin{array}{r} P (B_{i} ∣ A) = \frac{P (A B_{i})}{P (A)} = \frac{P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})} \end{array}

例题

问题
油田钻井队打出油的概率为 0.07，出油的井恰位于有储油地质结构位置的概率为 0.85，不出油的井位于有储油地质结构位置的概率为 0.35

则在有储油地质结构位置上打井的概率为？
在有储油地质结构位置上打的井出油的概率为？

解答
打井（原因） $\to$ 出油 (结果)
设打的井出油为事件 A (结果)
在有储油地质结构位置上打井为事件 B （原因）

打出油的概率
$P (A) = 0.07$ $P (\overset{―}{A}) = 0.93$
出油的井恰位于有储油地质结构位置 (已知结果，推原因)
$P (B ∣ A) = 0.85$
$P (B ∣ \overset{―}{A}) = 0.35$

$P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ \overset{―}{A}) P (\overset{―}{A})$
$P (B) = 0.85 \times 0.07 + 0.35 \times 0.93$

$P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}$

注意

灵活处理！也不要过于纠结原因和结果，只要明确事件，转化题目的意义即可,灵活地应用公式解决

AI 结构化补充（2026-05-02）

Conditional Probability

一、条件概率

事件 B 发生情况下事件 A 发生的概率

P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}

对单独的两个事件而言，各自发生的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响

但是，如果已知一个事件发生，则需要对另一个事件发生的概率重新考虑（一个事件发生，会改变基本空间 (样本空间) 的大小，进而改变另一个事件的概率）

二、离散随机变量形式

设

p_{i j} = P (X = x_{i}, Y = y_{j})

是 $X$ 与 $Y$ 的联合概率矩阵元素。第 $i$ 行的行和

p_{i} = \sum_{j} p_{i j} = P (X = x_{i})

是 $X = x_{i}$ 的边缘概率。若 $p_{i} > 0$ ，则

P (Y = y_{j} ∣ X = x_{i}) = \frac{p_{i j}}{p_{i}} .

这表示“已知 $X = x_{i}$ ”后，只保留联合矩阵第 $i$ 行，并把这一行重新归一化为总和为 $1$ 的概率向量。

例：给定

P = [\begin{matrix} 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 \end{matrix}],

行边缘概率为

p_{1} = 0.1 + 0.3 = 0.4, p_{2} = 0.2 + 0.4 = 0.6,

列边缘概率为

P_{1} = 0.1 + 0.2 = 0.3, P_{2} = 0.3 + 0.4 = 0.7 .

于是

P (Y = y_{2} ∣ X = x_{1}) = \frac{0.3}{0.4} = 0.75,

P (Y = y_{1} ∣ X = x_{2}) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} .

若 $X, Y$ 独立，则

p_{i j} = p_{i} P_{j},

并且

P (Y = y_{j} ∣ X = x_{i}) = P_{j} .

两枚独立公平硬币的联合矩阵全为 $\frac{1}{4}$ ，知道第一枚硬币的结果不会改变第二枚硬币正反面的概率。若两枚硬币按同面粘在一起，则只有 $(1, 1)$ 与 $(0, 0)$ 的概率为 $\frac{1}{2}$ ，此时 $P (Y = 1 ∣ X = 1) = 1$ ， $P (Y = 0 ∣ X = 1) = 0$ 。

三、乘法公式

$P (A B) = P (B) P (A ∣ B) = P (A) P (B ∣ A)$
$P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1})$

\begin{aligned} P (\overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}} A_{3}) & = P (\overset{―}{A_{1}}) P (\overset{―}{A_{2}} ∣ \overset{―}{A_{1}}) P (A_{3} ∣ \overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}}) \\ = \frac{10}{100} \cdot \frac{9}{99} \cdot \frac{90}{98} \end{aligned}

或者将抽取 3 次看为一个事件古典概型

P = \frac{A_{10}^{2} \cdot 90}{A_{100}^{3}} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 90}{100 \cdot 99 \cdot 98}

四、全概率公式

Law of Total Probability

已知原因找结果

$B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 为 $Ω$ 的一个分割/完备事件组/划分，满足：

$B_{i} B_{j} = \emptyset, i \neq j i, j = 1, 2 \dots n$
$⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω$

已知每个划分及每个划分中 A 发生的概率，求 A 发生的概率

\begin{array}{r} P (A) = P (⋃_{i = 1}^{n} A B_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A B_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i}) \end{array}

$A$ 可理解为事件发生的结果
$B_{i}$ 可理解为导致 $A$ 发生的原因

最简单的形式： $P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overset{―}{B}) P (A ∣ \overset{―}{B})$

五、贝叶斯公式

Bayes' Theorem 贝叶斯定理

已知结果找原因

$B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 为 $Ω$ 的一个分割/完备事件组/划分
已知事件 A 发生，求其中一个划分的概率

\begin{array}{r} P (B_{i} ∣ A) = \frac{P (A B_{i})}{P (A)} = \frac{P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})}{\sum_{k = 1}^{n} P (A ∣ B_{k}) P (B_{k})} \end{array}

在联合概率记号下，乘法公式给出

p_{i j} = P (Y = y_{j} ∣ X = x_{i}) P (X = x_{i}) = P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) P (Y = y_{j}) .

若 $P (X = x_{i}) > 0$ ，可得

P (Y = y_{j} ∣ X = x_{i}) = \frac{P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) P (Y = y_{j})}{P (X = x_{i})} .

概念边界

条件概率不是对称关系，通常 $P (A ∣ B) \neq P (B ∣ A)$ 。分母事件必须有正概率；若 $P (B) = 0$ ，普通离散条件概率 $P (A ∣ B)$ 不定义。条件化也不等于因果判断，它只是在给定信息下重新分配概率；是否能解释为因果关系，还需要额外的建模假设或实验设计。

例题

问题
油田钻井队打出油的概率为 0.07，出油的井恰位于有储油地质结构位置的概率为 0.85，不出油的井位于有储油地质结构位置的概率为 0.35

则在有储油地质结构位置上打井的概率为？
在有储油地质结构位置上打的井出油的概率为？

解答
打井（原因） $\to$ 出油 (结果)
设打的井出油为事件 A (结果)
在有储油地质结构位置上打井为事件 B （原因）

打出油的概率
$P (A) = 0.07$ $P (\overset{―}{A}) = 0.93$
出油的井恰位于有储油地质结构位置 (已知结果，推原因)
$P (B ∣ A) = 0.85$
$P (B ∣ \overset{―}{A}) = 0.35$

$P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ \overset{―}{A}) P (\overset{―}{A})$
$P (B) = 0.85 \times 0.07 + 0.35 \times 0.93$

$P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}$

注意

灵活处理！也不要过于纠结原因和结果，只要明确事件，转化题目的意义即可,灵活地应用公式解决