逆矩阵

Inverse Matrix

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ , 如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ :

\begin{array}{r} A B = B A = E \end{array}

则称矩阵 $A$ 可逆，并将矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{- 1}$

运算性质

矩阵 $A$ 可逆 $\leftrightarrow$ $| A | \neq 0$ $\leftrightarrow$ $A$ 为非奇异矩阵 $\leftrightarrow$ $A$ 满秩

\begin{matrix} A A^{- 1} = E | A | | A^{- 1} | = 1 \end{matrix}

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ ,其逆矩阵 $A^{- 1}$ 满足以下性质：

$(A^{- 1})^{- 1} = A$
$(λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}$
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ ，其中 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵。
$( A^T) ^{- 1}= ( A^{- 1}) {#T}$

计算矩阵的逆

1. 伴随矩阵计算

\begin{array}{r} A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*} \end{array}

\begin{array}{r} A A^{*} = A^{*} A = | A | E \Rightarrow \frac{1}{| A |} A^{*} A = E \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*} \end{array}

伴随矩阵 $A^{*}$ 为矩阵 $A$ 的各个元素对应的代数余子式的转置排列

余子式 $M_{i j}$ ：为去掉行 $i$ 和列 $j$ 的子矩阵
代数余子式 $C_{i j}$ ： $C_{i j} = (- 1)^{i + j} | M_{i j} |$ 为余子式的行列式（加上由于排列产生的正负号）

\begin{array}{r} A^{*} = (\begin{array}{c} C_{11} & C_{21} & \dots & C_{n 1} \\ C_{12} & C_{22} & \dots & C_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{1 n} & C_{2 n} & \dots & C_{n n} \end{array}) \end{array}

2. 初等变换

\begin{array}{r} (A ∣ I) \leftrightarrow (I ∣ A^{- 1}) \end{array}

3. 分块矩阵求逆

分块矩阵求逆涉及到将一个大矩阵分解成若干个小矩阵（块），然后对这些块进行操作以求得原矩阵的逆。假设有一个分块矩阵 $A$ ，它可以被分为四个块：

A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{21} \end{matrix})

其中 $A_{11}$ , $A_{12}$ , $A_{21}$ , 和 $A_{22}$ 都是子矩阵。为了求 $A$ 的逆，需要满足： $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 都需要是可逆的。如果 $A_{11}$ 或 $A_{22}$ 不可逆，那么可能需要使用其他方法来求逆，或者矩阵可能根本没有逆。

A^{- 1} = (\begin{matrix} (A_{11} - A_{12} A_{22}^{- 1} A_{21})^{- 1} & - A_{11}^{- 1} A_{12} (A_{22} - A_{21} A_{11}^{- 1} A_{12})^{- 1} \\ - A_{22}^{- 1} A_{21} (A_{11} - A_{12} A_{22}^{- 1} A_{21})^{- 1} & (A_{22} - A_{21} A_{11}^{- 1} A_{12})^{- 1} \end{matrix})

这个公式是基于 Schur 补的概念，其中 $A_{11} - A_{12} A_{22}^{- 1} A_{21}$ 和 $A_{22} - A_{21} A_{11}^{- 1} A_{12}$ 是 Schur 补。

实际应用

逆矩阵在许多数学和工程问题中具有重要作用，用于求解线性方程组、计算矩阵方程、分析线性变换、进行数据变换和优化等。逆矩阵的计算和应用是线性代数的重要部分，也是许多科学和工程计算的基础。 $A X B = C$ $X = A^{- 1} C B^{- 1}$

编程语言实现

python

import numpy as np
np.linalg.inv(A)

AI 结构化补充（2026-05-02）

Inverse Matrix

定义

对方阵 $A \in F^{n \times n}$ ，若存在同阶方阵 $B$ 使

A B = B A = I,

则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记为

B = A^{- 1} .

逆矩阵是撤销线性变换 $x \mapsto A x$ 的矩阵：先作用 $A$ 再作用 $A^{- 1}$ ，或先作用 $A^{- 1}$ 再作用 $A$ ，都回到原向量。

唯一性

若 $B$ 是左逆， $C$ 是右逆，即

B A = I, A C = I,

则

B = B (A C) = (B A) C = C .

因此同一个方阵一旦同时存在左逆和右逆，它们必定相同，逆矩阵也唯一。

等价条件

对 $n \times n$ 矩阵 $A$ ，以下条件等价：

$A$ 有逆矩阵。
$det A \neq 0$ 。
$A$ 是可逆矩阵，不是奇异矩阵。
$A$ 的列向量线性独立并张成整个 $F^{n}$ 。
对任意右端 $b$ ，线性方程组 $A x = b$ 都有唯一解。
齐次方程 $A x = 0$ 只有零解。

若 $A$ 可逆，则

A x = b ⟹ x = A^{- 1} b .

基本性质

若相关逆矩阵都存在，则

(A^{- 1})^{- 1} = A, (λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1} (λ \neq 0),

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}, (A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T} .

乘积的逆按反序排列，因为复合操作必须按相反顺序撤销：

(A B C)^{- 1} = C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1} .

例如

(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = I .

余子式公式

令 $C = (C_{i j})$ 为 $A$ 的代数余子式矩阵。若 $det A \neq 0$ ，则

A^{- 1} = \frac{C^{T}}{det A} .

也就是说，

(A^{- 1})_{i j} = \frac{C_{j i}}{det A} .

这个公式来自恒等式

A C^{T} = (det A) I .

注意必须转置： $C_{i j}$ 先排成余子式矩阵，再取 $C^{T}$ 才能成为逆矩阵的分子。

列方程视角

把逆矩阵按列写成

A^{- 1} = [x_{1} x_{2} \dots x_{n}], I = [e_{1} e_{2} \dots e_{n}] .

则

A A^{- 1} = I

等价于同时求解

A x_{1} = e_{1}, A x_{2} = e_{2}, \dots, A x_{n} = e_{n} .

因此逆矩阵的第 $j$ 列就是方程 $A x = e_{j}$ 的解。对这些列方程使用克拉默法则，分子行列式会变成 $A$ 的代数余子式，于是得到逆矩阵的余子式公式。

例子

对二阶矩阵

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}),

若

det A = a d - b c \neq 0,

则

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) .

例如

A = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}), det A = - 2,

所以

A^{- 1} = - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 6 & - 4 \\ - 5 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} \end{matrix}) .

乘以 $b = (2, 4)^{T}$ 得

A^{- 1} b = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}),

这与克拉默法则求出的解一致。

计算方式

常见求逆方式有两类：

伴随矩阵法：使用 $A^{- 1} = C^{T} / det A$ 。它适合低阶矩阵、符号推导和理论证明。
高斯-若尔当消元法：把增广矩阵 $[A ∣ I]$ 化为 $[I ∣ A^{- 1}]$ 。它是实际计算逆矩阵的标准消元方式。

若只是求单个方程组 $A x = b$ ，通常不应显式形成整个 $A^{- 1}$ ；直接对 $A x = b$ 消元或使用分解方法更高效。

使用边界

逆矩阵只对方阵的可逆情形存在。若 $det A = 0$ ，则 $A$ 是奇异矩阵， $A x = b$ 可能无解，也可能有无穷多解，此时不能写 $x = A^{- 1} b$ 。

从余子式公式看， $det A$ 是所有逆矩阵元素的共同分母。当 $det A$ 非零但很小，逆矩阵元素可能非常大，方程组对扰动会很敏感。这个现象说明显式求逆并不总是数值上稳健。

理论位置

逆矩阵把“唯一可解的线性方程组”和“可撤销的线性变换”统一起来。克拉默法则说明 $A^{- 1} b$ 的各个分量可以用列替换行列式表示；伴随矩阵和逆矩阵的余子式公式进一步把整个 $A^{- 1}$ 写成余子式矩阵转置除以 $det A$ 。