行列式

Determinants

基本定义

二阶行列式：

\begin{array}{r} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{array}

三阶行列式：

\begin{aligned} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | & = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{12} a_{23} a_{31} \\ - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{23} a_{31} - a_{21} a_{32} a_{13} \end{aligned}

n 阶行列式：

\begin{array}{r} D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \end{array}

几何意义：将矩阵映射为一个标量，矩阵的每列（或每行）代表一个边/平面，行列式表示多维空间各平面围成的体积。（代表了由矩阵 A 的列向量（或行向量） 在 n 维空间 中所张成的 平行多面体 的 有向体积。）

行列式的计算

1. Big Formula

\begin{array}{r} det A = \sum (det P) a_{1 α} a_{2 β} \dots a_{n ω} \end{array}

2. Cofactor Formula

行列式等于任一行/列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

\begin{array}{r} det A = a_{i 1} C_{i 1} + a_{i 2} C_{i 2} + \dots + a_{i n} C_{i n} 按行展开 \\ det A = a_{1 i} C_{1 i} + a_{2 i} C_{2 i} + \dots + a_{n i} C_{n i} 按列展开 \end{array}

余子式 $M_{i j}$ ：为去掉行 $i$ 和列 $j$ 的子矩阵
代数余子式 $C_{i j}$ ： $C_{i j} = (- 1)^{i + j} det M_{i j}$ 为余子式的行列式（加上由于排列产生的正负号）

伴随矩阵 $A^{*}$ 是矩阵 $A$ 的代数余子式的转置排列

\begin{array}{r} A^{*} = (\begin{array}{c} C_{11} & C_{21} & \dots & C_{n 1} \\ C_{12} & C_{22} & \dots & C_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{1 n} & C_{2 n} & \dots & C_{n n} \end{array}) \end{array}

$A = (a_{i j}), A A^{*} = (b_{i j})$

b_{i j} = a_{i 1} C_{j 1} + a_{i 2} C_{j 2} + \dots + a_{i n} C_{j n} = {\begin{cases} | A | i = j \\ 0 i \neq j \end{cases}

行列式的性质

行列式与转置行列式相等：

\begin{array}{r} D = D^{T} \end{array}

对换行列式的两行/列，行列式变号

交换两行： $r_{i} \leftrightarrow r_{j}$ $D_{1} = - D$
交换两列： $c_{i} \leftrightarrow c_{j}$ $D_{1} = - D$

如果有两行/列相等，则行列式为 0， $D = - D \to D = 0$
行列式的某一行/列的所有元素都乘以同一个数 $k$ ，相当于用 $k$ 乘以行列式

AI 结构化补充（2026-05-02）

Determinants

定义

行列式是赋给方阵的一个标量，记为 $det A$ 或 $| A |$ 。它不是普通的矩阵括号，而是把矩阵的行向量或列向量压缩成一个数：这个数同时记录有向体积伸缩、行向量是否退化、以及矩阵是否可逆。

对二阶矩阵

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}),

行列式为

det A = | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c .

一般 $n$ 阶方阵的行列式可以由三条定义性规则唯一确定： $det I = 1$ ，交换两行变号，并且在其他行固定时对任意一行分别线性。由这三条规则可推出行列式基本性质中的全部常用运算规则。

可逆性含义

行列式首先是可逆性的判别数：

A 可逆 ⟺ det A \neq 0.

若 $det A = 0$ ，矩阵没有逆；若 $A$ 可逆，则

det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A} .

二阶逆矩阵公式把这种含义表现得最直接：

{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) .

这里必须除以 $a d - b c$ 。当 $a d - b c = 0$ 时，公式要求除以 $0$ ，对应矩阵不可逆；几何上，二阶情形中两行平行或线性相关会使面积退化为 $0$ 。

计算路径

行列式有三条互补的计算路径。

主元公式：把 $A$ 消元到上三角矩阵 $U$ ，若发生 $k$ 次换行且未把主元行归一化，则

det A = (- 1)^{k} \prod_{i = 1}^{n} u_{i i} .

这就是 $det A = \pm$ 主元乘积，也是行列式与消元的核心。

排列公式：把每一行、每一列各取一个元素的所有组合加总，符号由排列奇偶性决定：

det A = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{n σ (n)} .

余子式展开：沿某一行或某一列把 $n$ 阶行列式化为若干个 $n - 1$ 阶行列式：

det A = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j} 或 det A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i j},

其中 $C_{i j} = (- 1)^{i + j} det M_{i j}$ 。这条路径解释了伴随矩阵和逆矩阵公式，但在高阶数值计算中通常不如消元有效。

核心性质

行列式的常用性质可以组织为一条从定义到应用的链条：

$det I = 1$ 。
交换两行使行列式变号；交换两列也变号。
在其他行固定时，行列式对每一行分别线性；列也同理。
两行相同或两列相同，则行列式为 $0$ 。
一行的倍数加到另一行不改变行列式。
有零行或零列，则行列式为 $0$ 。
三角矩阵的行列式等于主对角线乘积，见三角矩阵行列式。
奇异矩阵行列式为 $0$ ，可逆矩阵行列式非零。
乘法公式成立：

| A B | = | A | | B | .

转置不改变行列式：

| A^{T} | = | A | .

这些性质说明行列式既是代数对象，也是线性变换体积伸缩率的编码。

典型例子

二阶矩阵的主元直接给出行列式。若 $a \neq 0$ ，消元主元为

a, d - \frac{c}{a} b,

因此

a (d - \frac{c}{a} b) = a d - b c = det A .

如果先交换两行，矩阵变为

(\begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix}),

对应主元乘积为

c (b - \frac{a}{c} d) = b c - a d = - (a d - b c) .

换行只改变符号，不改变“主元乘积给出行列式”的原则。

另一个三阶例子是

B (a) = (\begin{matrix} 1 - a & 1 & 1 \\ 1 & 1 - a & 1 \\ 1 & 1 & 1 - a \end{matrix}) .

用行、列倍加把它化为下三角形后得到

det B (a) = a^{2} (3 - a) .

所以 $a = 0$ 或 $a = 3$ 时矩阵奇异。 $a = 0$ 时它是全 $1$ 矩阵，行向量明显相关； $a = 3$ 时每一行元素和为 $0$ ，也给出非零零空间向量。

边界与误区

行列式只定义在方阵上。它对“某一行单独变化且其他行固定”是线性的，但不是对整个矩阵加法线性。因此一般没有

det (A + B) = det A + det B .

同样，数乘整个 $n$ 阶矩阵时，每一行都被乘以同一个数：

det (t A) = t^{n} det A, det (t I_{n}) = t^{n} .

不能把 $det (2 I_{n})$ 误写成 $2 det I_{n}$ 。在实际计算中，行列式公式能给出逆矩阵、Cramer 法则和特征方程，但大规模数值求解通常先消元，而不是直接展开。

理论位置

行列式位于线性代数中几个主题的交点：它用 $det A \neq 0$ 判别可逆矩阵，用 $| det A |$ 描述有向体积的大小，用 $det (A - λ I) = 0$ 引出特征值，并通过行列式乘法公式把线性变换的复合转化为标量乘法。