线性方程组

Linear Equations

The central problem of linear algebra is to solve a system of equations
"线性代数的核心问题就是求解线性方程组"

一、线性方程组 Linear Equation

线性方程 <--> 向量方程 (向量的线性组合) <--> 矩阵方程

\begin{matrix} {\begin{cases} x - 2 y = 1 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{cases} \Leftrightarrow x (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) + y (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 11 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 11 \end{matrix}) \end{matrix}

1. 线性方程 Linear Equation

n 个未知数，n 个方程联立为线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

2. 向量方程 Vector Equation

将线性方程组改写为向量方程组的形式，本质上就是向量的线性组合 Linear Combination

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \dots \\ a_{n 1} \end{array}) x_{1} + (\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \dots \\ a_{n 2} \end{array}) x_{2} + \dots + (\begin{array}{c} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ \dots \\ a_{n n} \end{array}) x_{n} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \dots \\ b_{n} \end{array}) \end{array}

3. 矩阵方程 Matrix Equation

进一步写为矩阵方程，引出矩阵的概念

\begin{aligned} A \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) & = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{array}) \end{aligned}

$A$ 即为线性方程组的系数矩阵 Coefficient matrix

二、求解线性方程组

高斯消元
 克拉默法则
 线性方程组的解

AI 结构化补充（2026-05-02）

Linear System

Definition

线性方程组是若干个未知量只以一次形式出现的方程同时成立。一般地， $m$ 个方程、 $n$ 个未知量可以写成

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} . \end{cases}

把系数排成 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，把未知量排成 $x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ ，把右端排成 $b = (b_{1}, \dots, b_{m})^{T}$ ，就得到同一个问题的矩阵形式

A x = b .

Column View

若

A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}],

其中 $a_{j}$ 是 $A$ 的第 $j$ 列，则

A x = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{n} a_{n} .

所以求解 $A x = b$ ，从列图像看，就是寻找一组系数 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，使 $A$ 的列向量按这组系数做线性组合后正好得到 $b$ 。换句话说， $b$ 必须落在 $A$ 的列空间中；如果 $b$ 不在列空间里，方程组就无解。

Row View

若 $r_{i}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行，则 $A x$ 的第 $i$ 个分量是

(A x)_{i} = r_{i} \cdot x = a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{i n} x_{n} .

从行图像看，每一行方程 $r_{i} \cdot x = b_{i}$ 都是一条约束：在二维中常表现为直线，在三维中常表现为平面，在高维中表现为超平面。线性方程组的解集就是这些约束的交集。

Second-Chapter Geometry

在第一章差分矩阵的基础上，第二章视角把同一个 $A x = b$ 同时看成几何交点和列向量生成问题。

二维中，两条线性方程通常给出两条直线。若两条直线不平行，它们交于一个点，这个点的坐标就是方程组的唯一解；若两条直线平行且不同，则没有共同点；若两条直线重合，则整条直线上的点都是解。

三维中，一条方程通常给出一个平面。两个平面通常交成一条直线，第三个平面再切这条直线时得到一个点。若第三个平面没有切到这条线，就无解；若第三个平面包含这条线，就有无穷多个解。

列图像给出同一件事的另一种语言。把

A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}]

写成列向量后，右端 $b$ 必须由这些列向量组合出来：

x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{n} a_{n} = b .

因此“有解”先意味着 $b$ 能被列组合产生；“唯一”还要求产生 $b$ 的组合系数只有一组；“无穷多解”意味着至少两组不同系数产生同一个 $b$ ，也就是某个非零方向 $z$ 满足 $A z = 0$ 。

Matrix Equation Readings

矩阵方程 $A x = b$ 至少有三种读法：

行读法： $A$ 的每一行与 $x$ 做点积，得到一个方程 $r_{i} \cdot x = b_{i}$ 。这里看的是方程约束的共同交集。
列读法： $A x$ 是 $A$ 的列向量按 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 加权后的线性组合。这里看的是右端 $b$ 是否落在列向量生成的范围内。
映射读法： $A$ 是把输入 $x$ 送到输出 $b$ 的线性动作。已知 $x$ 算 $b = A x$ 是正向计算；已知 $b$ 求 $A x = b$ 是逆向求解。

Three Solution Types

线性方程组只有三种基本解型：

唯一解：行图像中，二维直线或三维平面最终只交于一个点；列图像中， $b$ 在 $A$ 的列空间内，而且表示 $b$ 的列组合系数唯一。方阵情形中，这对应可逆矩阵，也对应列向量线性独立且填满整个目标空间。
无解：行图像中，所有约束没有共同交点，例如两条平行不同的直线，或三个平面不能同时相交；列图像中， $b$ 不在列空间中，任何列组合都到不了这个右端。
无穷多解：行图像中，约束交成一条直线、一个平面或更高维集合；列图像中， $b$ 可以被产生，但产生它的系数不唯一。此时零空间中存在非零向量，方阵情形中对应奇异矩阵和列向量线性相关。

Same System in Row and Column Views

以

{\begin{cases} 2 x - y = 0, \\ - x + 2 y = 3 \end{cases}

为例，它的矩阵形式是

[\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] .

行图像看两条直线：第一条是 $y = 2 x$ ，第二条是 $2 y = x + 3$ 。把 $y = 2 x$ 代入第二条得到 $3 x = 3$ ，所以交点是 $(1, 2)$ 。这个交点同时满足两条约束，因此就是方程组的解。

列图像看同一个右端怎样由两列生成：

x [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}] y [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] .

解 $(x, y) = (1, 2)$ 的意思是

1 [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] .

同一组数字在行图像中是交点坐标，在列图像中是列向量的组合系数。

Two-Column Example

第一章早期的例子把方程组直接看成列向量组合。设

v = [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}], w = [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}], b = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] .

求 $c v + d w = b$ 就是求

c [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}] + d [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}],

也就是

{\begin{cases} 2 c - d = 1, \\ - c + 2 d = 0. \end{cases}

由第二个方程 $c = 2 d$ ，代入第一个方程得到 $3 d = 1$ ，所以

d = \frac{1}{3}, c = \frac{2}{3} .

列图像说： $b$ 是 $v$ 和 $w$ 的组合，组合系数是 $c = 2 / 3, d = 1 / 3$ 。行图像说：两条直线 $2 c - d = 1$ 与 $- c + 2 d = 0$ 的交点给出同一个解。

Difference-Matrix Example

第一章的差分矩阵把 $A x = b$ 解释得很清楚：

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}], A x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} - x_{1} \\ x_{3} - x_{2} \end{matrix}] = b .

这里从列看， $b$ 是三列的线性组合；从行看，三行分别规定 $x_{1} = b_{1}$ 、 $x_{2} - x_{1} = b_{2}$ 、 $x_{3} - x_{2} = b_{3}$ 。任意 $b$ 都能由累加恢复

x_{1} = b_{1}, x_{2} = b_{1} + b_{2}, x_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3} .

这正是可逆情形：每个右端都有唯一输入。与之相对，循环差分会产生右端条件和非零零空间，是理解奇异系统的标准入口。