线性方程组的解

$n$ 个未知数， $m$ 个方程联立为线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{cases} \sim A x = b

写为增广矩阵的形式：

\begin{array}{r} (A, b) = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & | & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & | & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & | & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & | & b_{m} \end{array}) \end{array}

对于 $n$ 元线性方程组 $A x = b$ ，对增广矩阵 $(A, b)$ 施加初等行变换变为行最简形矩阵，得到与原方程组通解的方程

无解的充分必要条件： $R (A) < R (A, b)$
有解的充分必要条件： $R (A) = R (A, b)$
- 有唯一解的充分必要条件： $R (A) = R (A, b) = n$
- 有无限多解的充分必要条件： $R (A) = R (A, b) < n$

对于 $n$ 元线性方程组 $A x = 0$ ，直接对矩阵 $A$ 施加初等行变换变为行最简形矩阵，由于始终有 $R (A) = R (A, b)$ ，所以始终有解

注意可以将非独立的变量任意取值，以通解的形式表达无限多解

AI 结构化补充（2026-05-02）

主要从矩阵的视角研究线性方程组，使用矩阵的初等变换来求解方程组。 $m$ 个方程、 $n$ 个未知数联立时，可以写成

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{cases} ⟺ A x = b .

它的增广矩阵是

[A ∣ b] = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & | & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & | & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & | & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & | & b_{m} \end{matrix}) .

第二章层面的直观判断先不从主元开始，而是先看几何与生成范围：

在两个未知量中，两条非平行直线通常给唯一解；两条平行不同直线给无解；两条重合直线给无穷多解。在三个未知量中，三个平面通常交于一个点；也可能没有共同交点；如果共同部分是一条线或一个平面，就有无穷多解。

例如

{\begin{cases} 2 x - y = 0, \\ - x + 2 y = 3 \end{cases}

的行图像是两条直线交于 $(1, 2)$ ；列图像是

x [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}] y [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}],

其中 $1$ 倍第一列加 $2$ 倍第二列正好产生右端。

直观判断需要由后续消元精确化。对增广矩阵施加初等行变换，可以写成

[A ∣ b] \to [R ∣ d] .

行变换保持解集不变，因为它只是把原来的行约束替换成等价约束，并不改变这些约束的交集。相容性在行最简形中表现为：如果 $R$ 的某一行为零行，则对应右端 $d$ 也必须为零；否则出现

0 = c, c \neq 0

这样的矛盾行，方程组无解。

方程组相容时，主元列给出被约束的变量，非主元列给出自由变量。先把自由变量设为 $0$ 得到一个特解 $x_{p}$ ，再加上齐次解：

x = x_{p} + x_{n}, x_{n} \in N (A) .

因此主元出现后的判别可以写成秩条件。设未知量个数为 $n$ ：

对齐次方程组 $A x = 0$ ，右端是零向量，所以一定相容。若 $rank (A) = n$ ，只有零解；若 $rank (A) < n$ ，存在自由变量，因而有非零解和无穷多解。

Complete Solution) 完整解不是只找一个满足 $A x = b$ 的向量，而是把所有解分成“命中右端项的一点”和“保持右端项不变的方向”两部分：

x = x_{p} + x_{n}, A x_{p} = b, x_{n} \in N (A) .

计算时必须把右端项一起参加行变换。若对增广矩阵做同样的初等行变换，

[A b] ⟶ [R d],

则 $A x = b$ 与 $R x = d$ 有相同解集。这里 $R$ 是 $A$ 的行最简阶梯形矩阵， $d$ 是右端项随同行变换后的结果。只化简 $A$ 而不化简 $b$ ，就无法判断方程是否相容，也无法直接读出特解。

设行最简形按主元变量和自由变量重排后可写成

R = [\begin{matrix} I & F \\ 0 & 0 \end{matrix}], d = [\begin{matrix} d_{p} \\ d_{0} \end{matrix}] .

相容的必要且充分条件是底部零行对应的右端项也为零：

d_{0} = 0.

如果某个零行对应 $d_{i} \neq 0$ ，最后一行就是 $0 = d_{i}$ ，方程组无解。这就是一致性条件在行最简形中的形式。若相容，通常先令所有自由变量为 $0$ ，由主元方程得到一个方便的 $x_{p}$ ；再让自由变量变化，得到全部齐次零空间方向。

例如

A = [\begin{matrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \end{matrix}], b = [\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}] .

增广矩阵化简为

[\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] = [R d] .

最后一行是 $0 = 0$ ，所以方程相容。自由变量是 $x_{2}, x_{4}$ 。取 $x_{2} = x_{4} = 0$ 得

x_{p} = (1, 0, 6, 0)^{T} .

再解齐次方程 $R x = 0$ ，自由变量给出两个零空间方向：

s_{1} = (- 3, 1, 0, 0)^{T}, s_{2} = (- 2, 0, - 4, 1)^{T} .

因此完整解是

x = (1, 0, 6, 0)^{T} + c_{1} (- 3, 1, 0, 0)^{T} + c_{2} (- 2, 0, - 4, 1)^{T} .

其中常数项是一个特解，两个方向向量属于零空间。如果换一个特解，常数项会变，但方向空间仍然是 $N (A)$ 。

零行条件也可以从行依赖关系理解。上例中第三行等于第一行加第二行：

{row}_{3} (A) = {row}_{1} (A) + {row}_{2} (A) .

若方程 $A x = b$ 相容，右端项必须满足同样关系：

b_{3} = b_{1} + b_{2} .

对一般的 $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})^{T}$ ，同样的消元给出最后一行

0 = b_{3} - b_{1} - b_{2},

所以相容条件是 $b_{1} + b_{2} = b_{3}$ 。这说明 $b$ 是否落在列空间里，不只由 $b$ 本身决定，而由 $A$ 的行依赖关系决定。

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $r = rank (A)$ 是矩阵的秩。解的数量由两个问题决定：是否有零行矛盾，以及是否有自由变量。

秩情形	典型 $R$	对 $A x = b$ 的结论	结构原因
$r = m = n$	$I$	对每个 $b$ 恰有一个解	没有零行条件，也没有自由变量
$r = m < n$	$[\begin{matrix} I & F \end{matrix}]$	对每个 $b$ 都可解，且有无穷多解	满行秩使列空间等于 $R^{m}$ ，但有 $n - m$ 个自由变量
$r = n < m$	$[\begin{matrix} I \\ 0 \end{matrix}]$	依 $b$ 而定，有 $0$ 或 $1$ 个解	满列秩使零空间只有零向量，但底部零行给出相容条件
$r < m, r < n$	$[\begin{matrix} I & F \\ 0 & 0 \end{matrix}]$	依 $b$ 而定，无解或无穷多解	既有零行条件，也有自由变量

因此，完整解的判断顺序应是：先检查 $[A b] \to [R d]$ 的零行是否相容；若相容，再由自由变量决定是唯一解还是无穷多解。