矩阵

Matrix
矩阵是 $m$ 行 $n$ 列的数表/矩形数组，在某些编程语言中称为 Array 。用于表示和处理线性变换、解线性方程组、计算向量空间中的各种运算。

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}) \end{array}

一、基本运算

对矩阵进行运算实际上是对多维数据进行处理

加法

两个同型矩阵才能进行加法运算，定义为对应的元素相加

(A + B)_{i j} = A_{i j} + B_{i j}

数乘

数 $λ$ 与矩阵相乘，相当于矩阵的每一个元素与数 $λ$ 相乘

乘法

矩阵乘法实现维数的转换，也即矩阵作用相当于线性变换

\begin{array}{r} C_{(m n)} = A_{(m \times j)} B_{(j \times n)} \end{array}

矩阵乘法不满足交换律，左侧矩阵的列数与右侧矩阵行数相等时，才能相乘

转置

定义为 $(A^{T})_{i j} = A_{j i}$

\begin{matrix} (A^{T})^{t} = A (A B)^{T} = B^{T} A^{T} \end{matrix}

逆

参考：逆矩阵

注意

有的编程语言中存在 Broadcasting 机制，可以自动扩展运算不同维度的数组 (矩阵)

矩阵可交换乘法

单位矩阵：任何矩阵与单位矩阵相乘，结果仍然是原矩阵。单位矩阵可以看作是乘法的“交换”元素，因为对于任何矩阵 A，都有 AI=IA=AI=IA=A。
相同矩阵：如果两个矩阵 A 和 B 是相同的，那么 AB=BA。
对角矩阵：如果两个矩阵都是对角矩阵，并且它们的乘积也是对角矩阵，那么这两个对角矩阵的乘法是可交换的。
零矩阵：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵，因此零矩阵在乘法下是“交换”的。
对称矩阵和斜对称矩阵：如果两个矩阵 AA 和 BB 都是对称矩阵或都是斜对称矩阵，并且它们的乘积仍然是对称矩阵或斜对称矩阵，那么在这种情况下，AB 和 BA 是相等的。

二、特殊的矩阵

若数值为 0 的元素数目远远多于非 0 元素的数目，并且非 0 元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非 0 元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。

单位矩阵

\begin{array}{r} E = (\begin{array}{c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) \end{array}

对角矩阵

\begin{array}{r} Λ = d i a g (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}) = (\begin{array}{c} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{array}) \end{array}

友矩阵

主对角线上方全为 1，最后一行的元素为任意值

Jordan 标准型

分块对角矩阵，每个 Jordan 块的主对角线为特征值，特征值右上一条对角线全为 1

以四阶举例：

\begin{array}{r} J = (\begin{array}{c} λ_{1} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{array}) \end{array}

矩阵多项式

$n$ 阶矩阵 $A$ 的 $m$ 次多项式：

\begin{array}{r} φ (A) = a_{1} E + a_{2} A + \dots + a_{m} A^{m} \end{array}

矩阵的幂可交换，多项式的乘积也可交换 $φ (A) f (A) = f (A) φ (A)$
所以关于 $A$ 的多项式可以同实数的多项式一样相乘或分解因式

矩阵的迹 $Tr$

AI 结构化补充（2026-05-02）

Matrix
矩阵首先可以看成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩形数组，但在线性代数中更重要的是：矩阵表示一种把输入向量送到输出向量的线性动作。若

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}] \in F^{m \times n},

则 $A$ 有 $m$ 行、 $n$ 列；条目 $a_{i j}$ 的第一个下标 $i$ 表示行，第二个下标 $j$ 表示列。矩阵的形状决定它能作用在哪类向量上： $m \times n$ 矩阵乘 $n$ 维列向量，输出 $m$ 维列向量。

矩阵作为列组合动作

把 $A$ 的列记为

A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}],

其中每个 $a_{j} \in F^{m}$ 。对输入

x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}],

矩阵作用定义为

A x = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{n} a_{n} .

因此 $x$ 不是单纯被“套进公式”的数字，而是给 $A$ 的各列指定权重； $A x$ 是这些列向量的线性组合。从这个角度看，所有可能的输出 $A x$ 构成 $A$ 的列图像。

例如

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = x_{1} [\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}] + x_{2} [\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}] .

这说明 $3 \times 2$ 矩阵把二维输入系数送到三维输出向量。

同一个 Ax 的行点积读法

列组合读法解释输出从哪里来；行读法解释每个分量怎样算出来。若 $A$ 的第 $i$ 行为 $r_{i}^{T}$ ，则

A x = [\begin{matrix} r_{1}^{T} x \\ r_{2}^{T} x \\ ⋮ \\ r_{m}^{T} x \end{matrix}] .

也就是说， $A x$ 的第 $i$ 个分量是第 $i$ 行与 $x$ 的点积。列组合给出几何图像，行点积给出方程约束；二者是同一个矩阵乘向量动作的两面，并连接到行图像。

从 Ax 到 Ax=b

当 $x$ 已知时，问题是正向计算：

b = A x .

当 $b$ 已知时，问题变成逆向寻找输入：

A x = b .

这就是线性方程组的矩阵形式。列组合图像问： $b$ 是否落在 $A$ 的列组合能够到达的范围内？行图像问：由各行给出的方程约束是否有公共交点？

若 $A$ 是方阵并且可逆，则每个 $b$ 都有唯一输入

x = A^{- 1} b,

其中 $A^{- 1}$ 是撤销 $A$ 动作的逆矩阵。这样的 $A$ 是可逆矩阵。若 $A$ 不可逆，则它是奇异矩阵；此时 $A x = b$ 可能无解，也可能有无穷多解，取决于 $b$ 是否在列图像中以及零空间是否含有非零向量。

差分矩阵是动作的例子

矩阵可以把“求差”“累加”“循环求差”等操作写成统一的乘法。第一章常用的后向差分矩阵

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}]

把输入 $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}$ 送到

A x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} - x_{1} \\ x_{3} - x_{2} \end{matrix}] .

例如 $x = (1, 4, 9)^{T}$ 时， $A x = (1, 3, 5)^{T}$ 。这个矩阵的逆动作是累加：从差分 $b$ 恢复 $x$ 。

循环差分矩阵则把首尾也相减：

C = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}] .

它会把所有常数向量送到零向量，因此不能被唯一撤销；这正是“矩阵作为动作”比“矩阵作为数表”更有解释力的地方。

乘法与运算边界

矩阵乘法不是普通数乘的直接放大版。若 $A$ 为 $m \times n$ ， $B$ 为 $n \times p$ ，则 $A B$ 有定义且形状为 $m \times p$ ；如果内侧维度不匹配，乘法没有意义。一般情况下

A B \neq B A,

甚至 $B A$ 可能根本没有定义。单位矩阵 $I$ 满足 $A I = A$ 和 $I A = A$ ，同阶标量矩阵 $c I$ 与所有同阶矩阵交换；除此之外，交换性必须由具体结构证明，不能作为默认规则使用。详细运算规则见矩阵乘法与矩阵运算。

常见特殊矩阵

单位矩阵 $I$ 保持输入不变，是乘法的恒等动作。
对角矩阵按坐标轴分别缩放。
三角矩阵常对应可按顺序求解的方程组。
稀疏矩阵只有少量非零条目，适合用结构化算法计算。
矩阵多项式 $φ (A) = c_{0} I + c_{1} A + \dots + c_{k} A^{k}$ 只涉及同一个方阵 $A$ 的幂，因此这些幂彼此可交换；这不代表任意两个矩阵可交换。