矩阵的初等变换

#Transform

Elementary Matrix Transformations

一、初等变换

初等行变换：只对行进行变换；初等列变换：只对列进行变换

初等变换：初等行变换和初等列变换的统称

对换两 行/列， $r_{i} \leftrightarrow r_{j}$ $c_{i} \leftrightarrow c_{j}$
以数 $k$ 乘某一 行/列 中的所有元 $r_{i} \times k$ $c_{i} \times k$
将某一行/列所有元的 $k$ 倍加到另一 行/列 对应的元上， $r_{i} + k r_{j}$ $c_{i} + k c_{j}$

(显然这三种初等变换都是可逆的，且逆变换是同一类型的初等变换。)

矩阵的等价： $A \sim B$ ，如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换得到矩阵 $B$ ，称为矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价

反身性： $A \sim A$
对称性：若 $A \sim B$ ，则 $B \sim A$
传递性：若 $A \sim B$ ， $B \sim C$ ，则 $A \sim C$

二、初等变换的意义

非零矩阵 $\to$ 行阶梯形矩阵 $\to$ 行最简形矩阵 $\to$ 标准型

行阶梯形矩阵：非零行在零行的上面，非零行的首元所在列在上一行的首元所在列的右边
行最简形矩阵：行阶梯形矩阵的非零行的首元为 1，首元所在列的其他元素为 0
标准型：对行最简形矩阵施加初等列变换

$A$ 和 $B$ 为 $m \times n$ 阶的矩阵

$A$ 经过初等行变换得到 $B$ 的充分必要条件为：存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$
对矩阵 $A$ 施加一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以初等矩阵
$A$ 经过初等列变换得到 $B$ 的充分必要条件为：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使得 $A Q = B$
对矩阵 $A$ 施加一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以初等矩阵
$A$ 经过初等变换得到 $B$ 的充分必要条件为：存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 、 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使得 $P A Q = B$

AI 结构化补充（2026-05-02）

Elementary Matrix Transformations

初等行变换

初等行变换是在矩阵行上执行的三类基本可逆操作：

行交换： $R_{i} \leftrightarrow R_{j}$ 。
行倍乘： $R_{i} \leftarrow α R_{i}$ ，其中 $α \neq 0$ 。
行倍加： $R_{i} \leftarrow R_{i} + α R_{j}$ ，其中 $i \neq j$ 。

在线性方程组中，行表示方程。因此初等行变换是在替换方程列表：交换方程顺序、把一个方程乘以非零常数，或用一个方程加上另一个方程的倍数。只要操作可逆，变换前后的方程组解集相同。

三类操作的可逆性

每一类初等行变换都有同类逆操作。

行交换的逆操作仍是交换同两行。
$R_{i} \leftarrow α R_{i}$ 的逆操作是 $R_{i} \leftarrow α^{- 1} R_{i}$ 。
$R_{i} \leftarrow R_{i} + α R_{j}$ 的逆操作是 $R_{i} \leftarrow R_{i} - α R_{j}$ 。

非零倍乘条件 $α \neq 0$ 很关键；若把一行乘以 $0$ ，原方程信息会丢失，不能保持解集。

对应的初等矩阵

对 $m \times n$ 矩阵 $A$ 做一次初等行变换，等价于在左侧乘一个 $m \times m$ 初等矩阵 $E$ ：

A ⟼ E A .

这个初等矩阵可由单位矩阵 $I_{m}$ 执行同样的行操作得到。

行交换对应置换矩阵；行倍乘对应把单位矩阵某个对角元改为 $α$ ；行倍加对应在单位矩阵的非对角位置加入 $α$ 。消元矩阵就是行倍加的一种特殊形式，例如

R_{i} \leftarrow R_{i} - m R_{k}

对应

E = I - m e_{i} e_{k}^{T} .

保持解集的条件

对方程组

A x = b

保持解集的变换必须同时作用于等号两边：

A x = b ⟺ E A x = E b,

其中 $E$ 可逆。用增广矩阵写就是

[A ∣ b] ⟼ [E A ∣ E b] .

如果只把 $A$ 变为 $E A$ 而不把 $b$ 变为 $E b$ ，就不再是原系统的等价变换。

列变换一般不保持 $A x = b$ 的原未知量解集，因为列对应变量方向。若对 $A$ 做右乘列变换 $A Q$ ，需要同时重解释未知量，例如令 $x = Q y$ ，才可以建立新旧系统之间的关系。

矩阵等价

若矩阵 $A$ 经过有限次初等行变换得到 $B$ ，则存在可逆矩阵 $P$ 使

B = P A .

若经过有限次初等列变换得到 $B$ ，则存在可逆矩阵 $Q$ 使

B = A Q .

若同时允许行、列初等变换，则有

B = P A Q .

矩阵等价保留秩等结构量，但不一定保留作为同一方程组时的解集解释。

与消元的关系

高斯消元使用的主要是行倍加：

R_{i} \leftarrow R_{i} - m_{i k} R_{k} .

当主元为零或过小时，还会使用行交换。这些操作都可逆，所以消元后的 $[U ∣ c]$ 与原来的 $[A ∣ b]$ 表示同一个解集。若把所有行倍加操作写成消元矩阵连乘，就得到矩阵化的消元过程；若再整理其逆矩阵，就得到LU分解中的下三角因子。

消元矩阵 - 行倍加操作的矩阵形式。
行交换 - 初等行变换中用于换主元的操作。
增广矩阵 - 保证行变换同步作用于系数和右端项。
高斯消元 - 由一串初等行变换构成的求解算法。