矩阵指数函数

Exponential of Matrix

求解微分方程组的工具，求解状态空间方程

Description

前置知识：泰勒级数矩阵指数函数状态空间方程
本节就是建立在齐次微分方程（齐次状态空间方程）的求解的基础上，借助泰勒级数的形式，定义的矩阵指数函数。

一、基本定义

系统输入量为零时，由初始状态引起的自由运动，可以表示为齐次微分方程：

\begin{array}{r} \dot{x} = A x \end{array}

设状态方程的解为 $t$ 的向量幂级数，则有：

\begin{aligned} x (t) & = b_{0} + b_{1} t + b_{2} t^{2} + \dots + b_{k} t^{k} + \dots \\ \dot{x} (t) & = b_{1} + 2 b_{2} t + \dots + k b_{k} t^{k - 1} + \dots \\ = A (b_{0} + b_{1} t + b_{2} t^{2} + \dots + b_{k} t^{k} + \dots) \end{aligned}

对比系数可以得到： $b_{1} = A b_{0}$ ， $b_{k} = \frac{1}{k} A b_{k - 1} = \frac{1}{k!} A^{k} b_{0}$ ，令 $b_{0} = x_{0}$ , 得到：

\begin{aligned} x (t) & = (I + A t + \frac{1}{2} A^{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{k!} A^{k} t^{k} + \dots) x_{0} \end{aligned}

由泰勒级数知：

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \dots

则定义齐次微分方程的解为：

e^{A t} = Φ (t) = I + A t + \frac{1}{2!} A t^{2} + \frac{1}{3!} A t^{3} + \frac{1}{4!} A t^{4} + \dots

向量微分方程和标量微分方程具有相似形式的解，将 $e^{A t}$ 称为矩阵指数
$x (t)$ 由 $x (0)$ 转移而来，对于线性定常系统， $e^{A t} = Φ (t)$ 又称状态转移矩阵

反映从初始时刻的状态矢量 $x_{0}$ 到时刻 $t$ 的状态矢量 $x (t)$ 的矢量变化关系（在状态空间中转移）

二、状态转移矩阵的基本性质

组合性质:

\begin{array}{r} Φ (t) Φ (τ) = Φ (t + τ) Φ (t - t) = Φ (0) = I \end{array}

转移矩阵的逆意味着时间的逆转：

\begin{array}{r} {[Φ (t)]}^{- 1} = Φ (- t) \Leftrightarrow (e^{A t})^{- 1} = e^{A (- t)} \end{array}

导数性质、与系统矩阵可交换：

\begin{array}{r} \dot{Φ} (t) = A Φ (t) = Φ (t) A \Rightarrow A = {\dot{Φ} (t) Φ (t)^{- 1} |}_{t = 0} = \dot{Φ} (0) \end{array}

当且仅当矩阵乘法可交换时，有：

\begin{array}{r} A B = B A \Rightarrow e^{A t} e^{B t} = e^{(A + B) t} \end{array}

三、特殊矩阵的指数函数

由状态向量的线性变换知道：

当特征值无重根时：

\begin{array}{r} T^{- 1} A T = Λ \Rightarrow Φ (t) = e^{A t} = T e^{Λ t} T^{- 1} \end{array}

\begin{array}{r} Λ = (\begin{array}{c} λ_{1} \\ λ_{2} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) e^{Λ t} = (\begin{array}{c} e^{λ_{1} t} \\ e^{λ_{2} t} \\ ⋱ \\ e^{λ_{n} t} \end{array}) \end{array}

当特征值有重根时：

\begin{array}{r} T^{- 1} A T = J \Rightarrow Φ (t) = e^{A t} = T e^{J t} T^{- 1} \end{array}

\begin{array}{r} J = {(\begin{array}{c} λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{array})}_{n \times n} e^{J t} = e^{λ t} (\begin{array}{c} 1 & t & \frac{1}{2!} t^{2} & \dots & \frac{1}{(n - 1)!} t^{n - 1} \\ 0 & 1 & t & \dots & \frac{1}{(n - 2)!} t^{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & t \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} J = {(\begin{array}{c} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ \end{array})}_{3 \times 3} e^{J t} = e^{λ t} (\begin{array}{c} 1 & t & \frac{1}{2!} t^{2} \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

四、简要证明

这里只简要证明：当特征值无重根时, $e^{A t} = T e^{Λ t} T^{- 1}$

容易知道：

\begin{array}{r} \frac{d e^{A t}}{d t} = 0 + A + A^{2} t + \frac{1}{2!} A^{3} t + \dots = A (e^{A t}) \end{array}

如果 $x$ 为矩阵 $A$ 的特征向量， $λ$ 为特征值，则有：

\begin{aligned} e^{A t} x & = e^{λ t} x \end{aligned}

当 $A = 0$ 时 $e^{A t} = I$
当 $A = Λ$ 时

\begin{aligned} e^{Λ t} & = I + Λ t + \frac{1}{2!} (Λ t)^{2} + \frac{1}{3!} (Λ t)^{3} + \dots \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} λ_{1} t \\ λ_{2} t \\ ⋱ \\ λ_{n} t \end{array}) + (\begin{array}{c} \frac{1}{2!} λ_{1} \\ \frac{1}{2!} λ_{2} \\ ⋱ \\ \frac{1}{2!} λ_{n} \end{array}) + \dots \\ = (\begin{array}{c} e^{λ_{1} t} \\ e^{λ_{2} t} \\ ⋱ \\ e^{λ_{n} t} \end{array}) \end{aligned}

由矩阵的特征分解知：矩阵可以进行对角化，进一步有

\begin{matrix} A = X Λ X^{- 1} \Rightarrow A^{n} = X Λ^{n} X^{- 1} \end{matrix}

$X$ 为特征向量构成的矩阵
$Λ$ 为特征值为主对角线的对角矩阵

\begin{aligned} e^{A t} & = I + A t + \frac{1}{2!} A t^{2} + \frac{1}{3!} A t^{3} + \frac{1}{4!} A t^{4} + \dots \\ = X X^{- 1} + X Λ X^{- 1} t + \frac{1}{2!} X Λ^{2} X^{- 1} t + \frac{1}{3!} X Λ^{3} X^{- 1} + \dots \\ = X e^{Λ t} X^{- 1} \end{aligned}

AI 结构化补充（2026-05-02）

Exponential of Matrix

求解微分方程组的工具，求解状态空间方程

Description

一、基本定义

系统输入量为零时，由初始状态引起的自由运动，可以表示为齐次微分方程：

\begin{array}{r} \dot{x} = A x \end{array}

设状态方程的解为 $t$ 的向量幂级数，则有：

\begin{aligned} x (t) & = b_{0} + b_{1} t + b_{2} t^{2} + \dots + b_{k} t^{k} + \dots \\ \dot{x} (t) & = b_{1} + 2 b_{2} t + \dots + k b_{k} t^{k - 1} + \dots \\ = A (b_{0} + b_{1} t + b_{2} t^{2} + \dots + b_{k} t^{k} + \dots) \end{aligned}

对比系数可以得到： $b_{1} = A b_{0}$ ， $b_{k} = \frac{1}{k} A b_{k - 1} = \frac{1}{k!} A^{k} b_{0}$ ，令 $b_{0} = x_{0}$ , 得到：

\begin{aligned} x (t) & = (I + A t + \frac{1}{2} A^{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{k!} A^{k} t^{k} + \dots) x_{0} \end{aligned}

由泰勒级数知：

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \dots

则定义齐次微分方程的解为：

e^{A t} = Φ (t) = I + A t + \frac{1}{2!} A^{2} t^{2} + \frac{1}{3!} A^{3} t^{3} + \frac{1}{4!} A^{4} t^{4} + \dots

向量微分方程和标量微分方程具有相似形式的解，将 $e^{A t}$ 称为矩阵指数
$x (t)$ 由 $x (0)$ 转移而来，对于线性定常系统， $e^{A t} = Φ (t)$ 又称状态转移矩阵

反映从初始时刻的状态矢量 $x_{0}$ 到时刻 $t$ 的状态矢量 $x (t)$ 的矢量变化关系（在状态空间中转移）

二、状态转移矩阵的基本性质

组合性质:

\begin{array}{r} Φ (t) Φ (τ) = Φ (t + τ) Φ (t - t) = Φ (0) = I \end{array}

转移矩阵的逆意味着时间的逆转：

\begin{array}{r} {[Φ (t)]}^{- 1} = Φ (- t) \Leftrightarrow (e^{A t})^{- 1} = e^{A (- t)} \end{array}

导数性质、与系统矩阵可交换：

\begin{array}{r} \dot{Φ} (t) = A Φ (t) = Φ (t) A \Rightarrow A = {\dot{Φ} (t) Φ (t)^{- 1} |}_{t = 0} = \dot{Φ} (0) \end{array}

当且仅当矩阵乘法可交换时，有：

\begin{array}{r} A B = B A \Rightarrow e^{A t} e^{B t} = e^{(A + B) t} \end{array}

三、特殊矩阵的指数函数

由状态向量的线性变换知道：

当特征值无重根时：

\begin{array}{r} T^{- 1} A T = Λ \Rightarrow Φ (t) = e^{A t} = T e^{Λ t} T^{- 1} \end{array}

\begin{array}{r} Λ = (\begin{array}{c} λ_{1} \\ λ_{2} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) e^{Λ t} = (\begin{array}{c} e^{λ_{1} t} \\ e^{λ_{2} t} \\ ⋱ \\ e^{λ_{n} t} \end{array}) \end{array}

当特征值有重根时：

\begin{array}{r} T^{- 1} A T = J \Rightarrow Φ (t) = e^{A t} = T e^{J t} T^{- 1} \end{array}

\begin{array}{r} J = {(\begin{array}{c} λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{array})}_{n \times n} e^{J t} = e^{λ t} (\begin{array}{c} 1 & t & \frac{1}{2!} t^{2} & \dots & \frac{1}{(n - 1)!} t^{n - 1} \\ 0 & 1 & t & \dots & \frac{1}{(n - 2)!} t^{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & t \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} J = {(\begin{array}{c} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ \end{array})}_{3 \times 3} e^{J t} = e^{λ t} (\begin{array}{c} 1 & t & \frac{1}{2!} t^{2} \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

四、简要证明

这里只简要证明：当特征值无重根时, $e^{A t} = T e^{Λ t} T^{- 1}$

容易知道：

\begin{array}{r} \frac{d e^{A t}}{d t} = 0 + A + A^{2} t + \frac{1}{2!} A^{3} t + \dots = A (e^{A t}) \end{array}

如果 $x$ 为矩阵 $A$ 的特征向量， $λ$ 为特征值，则有：

\begin{aligned} e^{A t} x & = e^{λ t} x \end{aligned}

当 $A = 0$ 时 $e^{A t} = I$
当 $A = Λ$ 时

\begin{aligned} e^{Λ t} & = I + Λ t + \frac{1}{2!} (Λ t)^{2} + \frac{1}{3!} (Λ t)^{3} + \dots \\ = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} λ_{1} t \\ λ_{2} t \\ ⋱ \\ λ_{n} t \end{array}) + (\begin{array}{c} \frac{1}{2!} λ_{1}^{2} t^{2} \\ \frac{1}{2!} λ_{2}^{2} t^{2} \\ ⋱ \\ \frac{1}{2!} λ_{n}^{2} t^{2} \end{array}) + \dots \\ = (\begin{array}{c} e^{λ_{1} t} \\ e^{λ_{2} t} \\ ⋱ \\ e^{λ_{n} t} \end{array}) \end{aligned}

由矩阵的特征分解知：矩阵可以进行对角化，进一步有

\begin{matrix} A = X Λ X^{- 1} \Rightarrow A^{n} = X Λ^{n} X^{- 1} \end{matrix}

$X$ 为特征向量构成的矩阵
$Λ$ 为特征值为主对角线的对角矩阵

\begin{aligned} e^{A t} & = I + A t + \frac{1}{2!} A^{2} t^{2} + \frac{1}{3!} A^{3} t^{3} + \frac{1}{4!} A^{4} t^{4} + \dots \\ = X X^{- 1} + X Λ X^{- 1} t + \frac{1}{2!} X Λ^{2} X^{- 1} t^{2} + \frac{1}{3!} X Λ^{3} X^{- 1} t^{3} + \dots \\ = X e^{Λ t} X^{- 1} \end{aligned}

五、常系数系统中的特征解

矩阵指数把常系数线性微分方程组

\dot{x} = A x

写成

x (t) = e^{A t} x (0) .

如果 $A v = λ v$ ，则

x (t) = e^{λ t} v

是一个纯指数解。可对角化时，令 $A = X Λ X^{- 1}$ ，得到

e^{A t} = X e^{Λ t} X^{- 1}, x (t) = \sum_{i} c_{i} e^{λ_{i} t} v_{i} .

例如

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}), x (0) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) .

特征值为 $1, 2$ ，特征向量可取 $(1, 0)^{T}, (1, 1)^{T}$ ，且 $x (0) = (1, 0)^{T} + (1, 1)^{T}$ ，所以

x (t) = e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + e^{2 t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) .

当重复特征值缺少足够特征向量时， $e^{J t}$ 中的上三角幂零部分会产生 $t e^{λ t}$ 等项；当 $A^{T} = - A$ 时， $e^{A t}$ 是正交矩阵，因而保持状态向量长度。