微分方程组

利用特征值和特征向量将常系数线性微分方程转换到线性代数来研究

\begin{array}{r} \frac{d e^{λ t}}{d t} = λ e^{λ t} \end{array}

\begin{array}{r} u (t) = u (0) e^{λ t} \frac{d u (t)}{d t} = A u (t) u (0) = (\begin{array}{c} u_{1} (0) \\ \dots \\ u_{n} (0) \end{array}) \end{array}

选择 $u = e^{λ t} x$ ，当 $A x = λ x$ 时， $\frac{d u}{d t} = A u = A e^{λ t} x = λ e^{λ t} x$

解法

\begin{array}{r} \frac{d u}{d t} = A u \end{array}

\begin{aligned} u & = {(\begin{array}{c} e^{λ_{1}} \\ ⋮ \\ e^{λ_{n}} \end{array})}^{T} (\begin{array}{c} x_{1} & \dots & x_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{array}) = c_{1} e^{λ_{1} t} x_{1} + \dots + c_{n} e^{λ_{n} t} x_{n} \end{aligned}

将初始条件（初始向量） $u (0)$ 写为 $A$ 的特征向量的线性组合
将各个特征向量乘以增长因子 $e^{λ_{i}}$ ，则得到微分方程组的解
$X c = u (0)$ 求得系数向量 $c$

二阶微分方程

\begin{array}{r} m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + b \frac{d y}{d t} + k y = 0 \\ (m λ^{2} + b λ + k) e^{λ t} = 0 \end{array}

{\begin{cases} \frac{d y}{d t} = y^{'} \\ \frac{d y^{'}}{d t} = - \frac{k}{m} y - \frac{b}{m} y^{'} \end{cases}

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} (\begin{array}{c} y \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{b}{m} \end{array}) (\begin{array}{c} y \\ y^{'} \end{array}) = A u \end{array}

$A - λ I = (\begin{matrix} - λ & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{b}{m} - λ \end{matrix})$ 有特征值 $λ^{2} + \frac{b}{m} λ + \frac{k}{m} = 0$
也就是特征方程 $(m λ^{2} + b λ + k) e^{λ t} = 0$

$Δ = b^{2} - 4 m k$
$b$ 与阻尼有关

Underdamping 欠阻尼 $Δ < 0$
Critical damping 过阻尼 $Δ = 0$
Overdamping 临界阻尼 $Δ > 0$
二阶系统的时域分析

系统稳定性

$\frac{d u (t)}{d t} = A u (t)$ , 当 $t \to \infty$ 时， $u (t)$ 趋于无穷还是零？
如果 $t \to \infty$ 时, $e^{λ t} = e^{(r + i s) t} \to 0$ ，则 $r < 0$ 实部为正，系统稳定

当矩阵为 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 如果矩阵稳定，则有：

矩阵的迹小于零 $T r = a + d = λ_{1} + λ_{2} < 0$
矩阵的行列式大于零 $D = a d - b c = λ_{1} λ_{2} > 0$

AI 结构化补充（2026-05-02）

利用特征值和特征向量将常系数线性微分方程转换到线性代数来研究

\begin{array}{r} \frac{d e^{λ t}}{d t} = λ e^{λ t} \end{array}

\begin{array}{r} u (t) = u (0) e^{λ t} \frac{d u (t)}{d t} = A u (t) u (0) = (\begin{array}{c} u_{1} (0) \\ \dots \\ u_{n} (0) \end{array}) \end{array}

选择 $u = e^{λ t} x$ ，当 $A x = λ x$ 时， $\frac{d u}{d t} = A u = A e^{λ t} x = λ e^{λ t} x$

解法

\begin{array}{r} \frac{d u}{d t} = A u \end{array}

\begin{aligned} u (t) & = X e^{Λ t} c = c_{1} e^{λ_{1} t} x_{1} + \dots + c_{n} e^{λ_{n} t} x_{n} \end{aligned}

将初始条件（初始向量） $u (0)$ 写为 $A$ 的特征向量的线性组合
将各个特征向量乘以增长因子 $e^{λ_{i} t}$ ，则得到微分方程组的解
$X c = u (0)$ 求得系数向量 $c$

特征向量解的典型例子

设

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), u (0) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) .

把 $u = (y, z)^{T}$ 写开，就是 $y^{'} = z, z^{'} = y$ 。两个特征方向分别是

λ_{1} = 1, x_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), λ_{2} = - 1, x_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) .

初值分解为

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + 1 (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}),

即 $C = 3, D = 1$ 。所以解是

u (t) = 3 e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + e^{- t} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 e^{t} + e^{- t} \\ 3 e^{t} - e^{- t} \end{matrix}) .

这说明耦合变量本身不一定解耦，但特征向量方向上的组合会分别按 $e^{t}$ 与 $e^{- t}$ 增长或衰减。

二阶微分方程

\begin{array}{r} m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + b \frac{d y}{d t} + k y = 0 \\ (m λ^{2} + b λ + k) e^{λ t} = 0 \end{array}

{\begin{cases} \frac{d y}{d t} = y^{'} \\ \frac{d y^{'}}{d t} = - \frac{k}{m} y - \frac{b}{m} y^{'} \end{cases}

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} (\begin{array}{c} y \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{b}{m} \end{array}) (\begin{array}{c} y \\ y^{'} \end{array}) = A u \end{array}

当二阶方程归一化为

u^{″} + B u^{'} + C u = 0

时，令状态向量为 $(u, u^{'})^{T}$ ，可直接化为一阶系统

{(\begin{matrix} u \\ u^{'} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - C & - B \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ u^{'} \end{matrix}) .

例如 $y^{″} + y = 0$ 对应

{(\begin{matrix} y \\ y^{'} \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y \\ y^{'} \end{matrix}),

其特征值为 $i, - i$ 。初值 $(y (0), y^{'} (0)) = (1, 0)$ 给出

(\begin{matrix} y (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos t \\ - \sin t \end{matrix}),

状态点沿单位圆运动，体现纯虚特征值只产生振荡而不产生指数衰减。

$Δ = b^{2} - 4 m k$
$b$ 与阻尼有关

Underdamping 欠阻尼 $Δ < 0$
Critical damping 临界阻尼 $Δ = 0$
Overdamping 过阻尼 $Δ > 0$
二阶系统的时域分析

系统稳定性

$\frac{d u (t)}{d t} = A u (t)$ , 当 $t \to \infty$ 时， $u (t)$ 趋于无穷还是零？
如果 $t \to \infty$ 时, $e^{λ t} = e^{(r + i s) t} \to 0$ ，则 $r < 0$ ，即实部为负，系统稳定

当矩阵为 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 如果矩阵稳定，则有：

矩阵的迹小于零 $T r = a + d = λ_{1} + λ_{2} < 0$
矩阵的行列式大于零 $D = a d - b c = λ_{1} λ_{2} > 0$

特征解叠加

常系数系统

\frac{d u}{d t} = A u

可以转成特征值问题：若 $A x = λ x$ ，则

u (t) = e^{λ t} x

是一个纯指数解。当 $A$ 可对角化，且 $u (0) = \sum_{i} c_{i} x_{i}$ 时，解为

u (t) = \sum_{i} c_{i} e^{λ_{i} t} x_{i} = X e^{Λ t} X^{- 1} u (0) .

若出现重根且特征向量不足，解中会出现 $t e^{λ t}$ 、 $t^{2} e^{λ t}$ 等由 Jordan 块产生的补充项；这也是临界稳定性需要额外检查代数结构的原因。

矩阵指数形式

同一个初值问题也可以写成

u (t) = e^{A t} u (0) .

若 $A = X Λ X^{- 1}$ ，则

e^{A t} = X e^{Λ t} X^{- 1}, u (t) = X e^{Λ t} X^{- 1} u (0) .

例如

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}), u (0) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}),

特征值是 $1, 2$ ，特征向量可取 $(1, 0)^{T}, (1, 1)^{T}$ 。因为 $u (0) = x_{1} + x_{2}$ ，所以

u (t) = e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + e^{2 t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) .