向量

Vector

向量基础以及地位

在线性代数中：作为矩阵的基础，研究空间、维度、基等概念
在几何学中：是平面解析几何的基础，也可作为空间解析几何的工具
在微积分学中：作为多元微积分的基础，进行向量函数的微分与积分
在物理学中：称之为矢量，是运动学和动力学的基础

向量的运算

\begin{array}{r} r = (x, y, z) | r | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \end{array}

向量的方向余弦：

\begin{array}{r} (\cos α, \cos β, \cos γ) = \frac{(x, y, z)}{| r |} = \frac{r}{| r |} = e_{r} \end{array}

\begin{array}{r} \cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1 \end{array}

1. 数量积 Dot Product

在数学中是一个定义在向量空间上的二元运算，它将两个向量映射到一个标量。

\begin{aligned} v & = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \\ w & = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) \end{aligned}

\begin{array}{r} v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} \end{array}

向量的正交性：正交性是一个概念，用于描述两个向量在内积空间中垂直的关系。如果两个向量的内积为零，则称这两个向量是正交的。

2. 向量积 Cross Product

由两个已知向量来确定另一个向量

\begin{aligned} c = a \times b & = | \begin{array}{c} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} | \end{aligned}

向量积的大小： $| c | = | a | | b | \sin θ$
向量积的方向：垂直于两个向量所决定的平面，指向按照右手规则从 $a$ 转到 $b$ 来确定
向量积的坐标表示：使用三阶行列式记忆

\begin{array}{r} x = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}], y = [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}], z = x \times y = [\begin{array}{c} x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} \\ x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \end{array}] \end{array}

3. 混合积 Scalar Triple Product

几何意义是平行六面体的体积：

先进行向量积，得到长度为以两个向量为边的平行四边形的面积的向量
再进行数量积，相当于再乘以高，最终结果正好是以三个向量为边的平行六面体的体积

\begin{aligned} [\begin{array}{c} a & b & c \end{array}] & = (a \times b) \cdot c = | \begin{array}{c} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{array} | \end{aligned}

向量基本定理

应用

计算三角形面积

\begin{array}{r} S_{△ A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} | | \vec{A C} | \sin ∠ A = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | \end{array}

AI 结构化补充（2026-05-02）

Vector

向量基础以及地位

在线性代数中：作为矩阵的基础，研究空间、维度、基等概念
在几何学中：是平面解析几何的基础，也可作为空间解析几何的工具
在微积分学中：作为多元微积分的基础，进行向量函数的微分与积分
在物理学中：称之为矢量，是运动学和动力学的基础

向量的运算

\begin{array}{r} r = (x, y, z) | r | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \end{array}

向量的方向余弦：

\begin{array}{r} (\cos α, \cos β, \cos γ) = \frac{(x, y, z)}{| r |} = \frac{r}{| r |} = e_{r} \end{array}

\begin{array}{r} \cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1 \end{array}

1. 数量积 Dot Product

在数学中是一个定义在向量空间上的二元运算，它将两个向量映射到一个标量。

\begin{aligned} v & = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \\ w & = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) \end{aligned}

\begin{array}{r} v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} \end{array}

向量的正交性：正交性是一个概念，用于描述两个向量在内积空间中垂直的关系。如果两个向量的内积为零，则称这两个向量是正交的。

2. 向量积 Cross Product

由两个已知向量来确定另一个向量

\begin{aligned} c = a \times b & = | \begin{array}{c} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} | \end{aligned}

向量积的大小： $| c | = | a | | b | \sin θ$
向量积的方向：垂直于两个向量所决定的平面，指向按照右手规则从 $a$ 转到 $b$ 来确定
向量积的坐标表示：使用三阶行列式记忆

\begin{array}{r} x = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}], y = [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}], z = x \times y = [\begin{array}{c} x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} \\ x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \end{array}] \end{array}

3. 混合积 Scalar Triple Product

几何意义是平行六面体的体积：

先进行向量积，得到长度为以两个向量为边的平行四边形的面积的向量
再进行数量积，相当于再乘以高，最终结果正好是以三个向量为边的平行六面体的体积

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2} \\ v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3} \\ v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1} \end{array}] \end{array}

给出垂直于 $v, w$ 所在平面的向量，其长度等于由 $v, w$ 张成的平行四边形面积。

维度边界

向量属于哪个空间，由分量个数决定。 $(x, y)$ 是 $R^{2}$ 中的向量， $(x, y, 0)$ 是 $R^{3}$ 中的向量；即使它们在平面图像上看起来相似，也不是同一个对象。二维向量不能直接和三维向量相加。

同理，列向量和行向量也要区分。 $(1, 1, - 1)$ 在上下文中常只是三维列向量的行内省略写法；真正的 $1 \times 3$ 行向量 $[1 1 - 1]$ 与 $3 \times 1$ 列向量形状不同，在矩阵乘法中会产生不同结果。

维度检查是使用向量时的第一道防线。两个向量只有处在同一维空间中，才谈得上逐分量相加；矩阵乘向量时，矩阵列数必须等于输入列向量的分量数。

在线性组合/张成中的角色

向量是线性组合的基本材料。一个线性组合形如

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{k} v_{k},

它只使用向量加法和标量数乘。单个组合给出一个具体向量；允许所有系数变化，就得到这些向量的张成。

一个非零向量 $v$ 的全部倍数 $c v$ 形成一条过原点的直线。两个不共线向量 $u, v$ 的全部组合 $c u + d v$ 形成一张过原点的平面。三个合适的三维向量 $u, v, w$ 的全部组合 $c u + d v + e w$ 可以填满整个 $R^{3}$ 。如果第三个向量已经在前两个向量的平面内，它不会扩展张成空间。

在线性方程组中，方程 $A x = b$ 也可以理解为：目标向量 $b$ 是否能由矩阵 $A$ 的列向量线性组合出来。因此向量不是孤立的坐标表，而是连接线性方程组、矩阵和空间几何的基本对象。

常见误区

零向量不是数字 $0$ 。数字 $0$ 是一个标量； $(0, 0)^{T}$ 、 $(0, 0, 0)^{T}$ 才是具体空间中的零向量。它们都记作 $0$ 时，必须根据上下文判断维度。

向量的分量不能跨维相加。 $(x, y)$ 与 $(x, y, 0)$ 不同， $[1 2]$ 与 $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}]$ 也不同；前者是行向量，后者是列向量。

点积和叉积不是向量定义的一部分。向量在 1.1 中的核心操作是 $v + w$ 和 $c v$ ；点积、叉积是在此基础上加入的额外运算，分别服务于正交、长度、面积和方向等几何问题。

“箭头位置”不是向量本身的一部分。只要方向和长度相同，把箭头平移到别处仍表示同一个自由向量；在线性代数中通常把箭头从原点画起，是为了让分量、终点和坐标直接对应。