凯莱-哈密顿定理

Cayley-Hamilton Theorem

描述了矩阵与其特征多项式之间的关系

$n$ 阶矩阵的特征多项式为：

\begin{aligned} f (λ) & = | λ I - A | = λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} \end{aligned}

则 $A$ 满足特征方程

\begin{array}{r} f (A) = A^{n} + a_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + a_{1} A + a_{0} I = 0 \end{array}

\begin{array}{r} A^{n} = - a_{n - 1} A^{n - 1} - \dots - a_{1} A - a_{0} I \end{array}

矩阵 $A$ 的 $k$ 次幂( $k \geq n$ )可以表示为 $A$ 的 $n - 1$ 阶多项式

\begin{array}{r} A^{k} = \sum_{m = 0}^{n - 1} α_{m} A^{m} k \geq n \end{array}

矩阵指数函数 $e^{A t}$ 可以表示为 $A$ 的 $n - 1$ 阶多项式

\begin{array}{r} e^{A t} = \sum_{m = 0}^{n - 1} α_{m} (t) A^{m} \end{array}

凯莱-哈密顿定理说明：方阵满足自己的特征多项式。设 $A \in F^{n \times n}$ ，特征多项式为

p_{A} (λ) = det (λ I - A) = λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} .

则

p_{A} (A) = A^{n} + a_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + a_{1} A + a_{0} I = 0.

这里的 $p_{A} (A)$ 是把标量多项式中的 $λ^{k}$ 替换为矩阵幂 $A^{k}$ ，常数项替换为常数乘以 $I$ 。定理只要求 $A$ 是方阵，不要求 $A$ 可逆、可对角化或有互异特征值。

对 $2 \times 2$ 矩阵，特征多项式为

p_{A} (λ) = λ^{2} - tr (A) λ + det (A),

所以

A^{2} - tr (A) A + det (A) I = 0.

若 $det (A) \neq 0$ ，还可移项得到

A^{- 1} = \frac{tr (A) I - A}{det (A)} .

这说明行列式、迹和逆矩阵在二阶情形中由同一个多项式恒等式控制。

由

A^{n} = - a_{n - 1} A^{n - 1} - \dots - a_{1} A - a_{0} I

可知任意高阶矩阵幂都能递推降到

span {I, A, A^{2}, \dots, A^{n - 1}} .

因此对 $k \geq n$ ，存在系数 $α_{0}, \dots, α_{n - 1}$ 使

A^{k} = \sum_{j = 0}^{n - 1} α_{j} A^{j} .

系数由把标量多项式 $λ^{k}$ 对 $p_{A} (λ)$ 取余得到。

若 $f$ 是多项式或可由幂级数定义的函数，例如矩阵指数函数，则 $f (A)$ 也可以降为低阶多项式：

e^{A t} = \sum_{j = 0}^{n - 1} β_{j} (t) A^{j} .

这不是说指数级数被截断，而是说所有高阶幂都可由凯莱-哈密顿关系递推消去。在线性微分方程

\dot{x} = A x

中，这使状态转移矩阵 $e^{A t}$ 可以用有限个矩阵幂表达。

特征多项式不一定是使矩阵为零的最低次数多项式。最低次数的首一多项式称为最小多项式 $m_{A} (λ)$ ，满足

m_{A} (A) = 0, m_{A} (λ) ∣ p_{A} (λ) .

若 $A$ 可对角化，则 $m_{A}$ 的根没有重数；若存在 Jordan 块， $m_{A}$ 中对应特征值的重数等于最大 Jordan 块大小。因而凯莱-哈密顿定理给出普遍上界，最小多项式给出更精确的幂降阶关系。

从谱的角度看，若 $A = X Λ X^{- 1}$ 可对角化，则

p_{A} (A) = X p_{A} (Λ) X^{- 1} = 0,

因为每个特征值 $λ_{i}$ 都是 $p_{A}$ 的根。不可对角化时，Jordan 块会引入广义特征向量链；特征多项式中足够高的重数会同时消去这些 nilpotent 部分，所以结论仍然成立。

凯莱-哈密顿定理连接特征值和特征向量、特征多项式、矩阵对角化、Jordan标准形和矩阵指数函数。它的主要作用不是直接求特征值，而是在已知特征多项式后，把矩阵幂、逆矩阵和矩阵函数压回有限维多项式空间。