无穷

Infinity

与极限紧密相关

一、基本概念

1. 无穷小和无穷大的定义

无穷小：极限为零 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0 / lim_{x \to \infty} f (x) = 0$
无穷大：总存在正数 $δ$ ， $M$ 为任意给定的正数，有： $0 < | x - x_{0} | < δ, | f (x) | > M$
则有： $lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$

函数 $f (x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件： $lim_{x \to x_{0}} / lim_{x \to \infty} f (x) = A \leftrightarrow f (x) = A + α$

2. 无穷大与无穷小的关系

\begin{array}{r} lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0 \leftrightarrow lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{f (x)} = \infty \\ lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty \leftrightarrow lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{f (x)} = 0 \end{array}

极限运算法则

二、无穷小的应用

无穷小的比较

极限定义	无穷小的类型	记号表达
$lim \frac{β}{α} = 0$	高阶无穷小	$β = o (α)$
$lim \frac{β}{α} = \infty$	低阶无穷小
$lim \frac{β}{α} = c$	同阶无穷小
$lim \frac{β}{α} = 1$	等价无穷小	$β \sim α$
$lim \frac{β}{α^{k}} = 0$	k 阶无穷小

等价无穷小

互为等价无穷小的充分必要条件： $β \sim α \leftrightarrow β = α + o (α)$
可以使用等价无穷小进行极限计算：

\begin{array}{r} α \sim \tilde{α}, β \sim \tilde{β} lim \frac{β}{α} = lim \frac{\tilde{β}}{\tilde{α}} \end{array}

常见的等价无穷小： $x \to 0$

x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1

\begin{array}{r} 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} \tan x - \sin x \sim \frac{1}{2} x^{3} (1 + x)^{α} - 1 \sim α x \end{array}

可以扩展使用： $f (x) \to 0$

f (x) \sim \sin f (x) \sim \tan f (x) \sim \arcsin f (x) \sim \arctan f (x) \sim \ln (1 + f (x)) \sim e^{f (x)} - 1

\begin{array}{r} 1 - \cos f (x) \sim \frac{1}{2} f (x)^{2} \tan f (x) - \sin f (x) \sim \frac{1}{2} f (x)^{3} (1 + f (x))^{α} - 1 \sim α f (x) \end{array}

实际应用

也要注意变形，实际上等价无穷小可以解决很多问题

当 $x \to 0$ 时，如果 $g (x) \to 0$ ，则有：

\begin{array}{r} f (x)^{g (x)} - 1 = e^{g (x) \ln f (x)} - 1 \sim g (x) \ln (f (x)) \end{array}

如果 $f (x) \to 1$ ，

\begin{array}{r} \sqrt[n]{f (x)} - 1 \sim \frac{1}{n} (f (x) - 1) \end{array}