三角函数

Trigonometric Functions
起源于对三角形的研究，三角函数正交系可作为函数空间的正交基

$\frac{π}{2}$

\begin{aligned} \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \\ 1 + \tan^{2} α = \sec^{2} α \\ 1 + \cot^{2} α = \csc^{2} α \end{aligned}

利用欧拉公式，正余弦可用指数函数来表示

\begin{aligned} e^{i z} & = \cos z + i \sin z \\ \cos z & = \frac{1}{2} (e^{i z} + e^{- i z}) \\ \sin z & = \frac{1}{2 i} (e^{i z} - e^{- i z}) \end{aligned}

千万注意不要漏掉指数函数上的虚数单位 $i$ !

当 $z$ 为纯虚数 $y i$ 时，可导出双曲函数

\begin{aligned} \sin i z & = i \sinh z \\ \cos i z & = \cosh z \\ \tan i z & = i \tanh z \\ \cot i z & = - i \coth z \end{aligned}

解析性：正余弦函数是复平面内的解析函数

有界性不再成立，是与实变意义的最大区别
$z \to \infty | \sin z i | \to \infty | \cos z i | \to \infty$

基本： $\sin z$ 奇函数， $\cos z$ 偶函数，均以 $2 π$ 为周期

\begin{aligned} (\cos z)^{'} = - \sin z (\sin z)^{'} = \cos z \sin^{2} z + \cos^{2} z = 1 \end{aligned}

三角函数的反函数

\begin{aligned} A r c c o s z & = - i L n (z + \sqrt{z^{2} - 1}) \\ A r c s i n z & = - i L n (i z + \sqrt{1 - z^{2}}) \\ A r c t a n z & = - \frac{i}{2} L n \frac{1 + z}{1 - z} \end{aligned}