对数函数

Logarithmic Functions

一、实数意义

\begin{array}{r} \log_{b} (a) = c \leftrightarrow b^{c} = a \end{array}

$\log_{b} 1 = 0$ 恒过 $(1, 0)$

\begin{array}{r} \log_{b} (x y) = \log_{b} x + \log_{b} y \\ \log_{b} (x / y) = \log_{b} x - \log_{b} y \end{array}

换底公式：

\begin{array}{r} \log_{c} a^{x} = \log_{c} b \log_{a} b \log_{c} a = \log_{c} b \end{array}

\begin{array}{r} \log_{b} a = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b} \log_{a} b \cdot \log_{b} a = 1 \log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} b \end{array}

对数分度

Logarithmic Scale

对数变换，能够在较大范围频率范围内反映频率特性的变化
适用于指数和倍数关系
广义线性性质：在对数尺度上进行加法运算相当于在原始值上进行乘法运算
适用于宽范围数据：展示宽范围数据的变化情况，在数据的取值范围很大时显示数据的趋势
减小数值差异：大数值和小数值的差异会得到相对压缩，使得数据的变化更加平稳

熵
 Bode 图

二、复数意义

指数函数 $z = e^{w}$ 的反函数： $w = f (z)$ 为对数函数

复数的指数表示：

\begin{aligned} z & = | z | e^{i A r g (z)} = e^{ω} ω = \ln | z | + i A r g (z) = L n z \end{aligned}

$L n z = \ln | z | + i A r g z$
$L n z$ 的主值： $\ln z = \ln | z | + i a r g z$

基本性质

多值性： $A r g (z)$ 为多值函数, 所以 $L n z$ 也为多值函数，每两值相差 $2 π i$ 的整数倍

$L n z = \ln z + 2 k π i$ , 每一个值 $k$ 对应一个单值函数，称为分支

基本运算：实际上是辐角的性质，是集合意义上的相等

\begin{array}{r} L n \frac{z_{1}}{z_{2}} = L n z_{1} - L n z_{2} \\ L n (z_{1} \cdot z_{2}) = L n z_{1} + L n z_{2} \end{array}

注意

对数的基本性质是：集合意义上的相等，也即: $k = k_{1} + k_{2} k, k_{1}, k_{2} \in Z$
一般而言，对 $z$ 的幂次取对数不等同于幂次乘以 $z$ 的对数， $L n (z^{m}) \neq m L n (z)$

例子：
$L n (z)^{2} \neq 2 L n z$
$L n (z)^{2} = 2 \ln | z | + i (2 a r g ∠ z + 2 k π)$
$2 L n z = 2 \ln | z | + 2 i (a r g ∠ z + 2 k π)$

导数及解析性：除去负实轴及原点的复平面（幅角定义导致）处处连续，处处可导，处处解析

\begin{array}{r} (L n z)^{'} = \frac{1}{z} (\ln z)^{'} = \frac{1}{\frac{d e^{w}}{d w}} = \frac{1}{z} \end{array}