拓扑

Topology

拓扑研究空间在连续变形下保持不变的结构，例如连通性、回绕方式、洞、端点、边界识别和紧致性。它不关心具体长度、角度、曲率或尺度，因此常被直观地称为“橡皮几何”。

Topological Equivalence

若两个空间之间存在连续双射，且逆映射也连续，则它们同胚；同胚空间在拓扑意义上等价。直观地说，一个空间可以被连续拉伸、弯曲或压缩成另一个空间，但不能被切开或粘合。

例如，球面和被拉长的椭球面拓扑相同，因为后者可由前者连续拉伸得到。球面和平面都二维，但拓扑不同：平面无限延展，球面闭合回绕，不能在不切开的情况下互相变形。

Core Notions

• 拓扑空间：集合 $X$ 加上一族开集 $\tau$，用来定义邻域与连续性。
• 连续映射：拓扑空间之间保持开集结构的映射；严格说，目标空间开集的原像必须是定义域中的开集。
• 同胚：双向连续的一一对应，是拓扑学中的“相同空间”。
• 连通性：空间能否被分成两个互不相交的非空开闭部分。
• 紧致性：每个开覆盖都有有限子覆盖；闭合且有界的欧氏子集是常见直觉，但一般拓扑中要用开覆盖定义。
• 边界与端点：闭区间 $[a,b]$ 有两个端点，直线 $\mathbb{R}$ 没有端点，因此二者拓扑不同。
• 乘积空间：若系统由多个独立构型因子组成，总空间常写成笛卡尔积，如 $S^1\times S^1$。

Examples

一维空间中，直线、圆和闭区间拓扑不同：

开区间 $(a,b)$ 可连续拉伸为整条直线，所以

闭区间 $[a,b]$ 不同，因为它含有两个端点。圆 $S^1$ 也不同，因为它没有端点但会回绕。

二维空间中，${\mathbb{R}}^2$、球面 $S^2$ 和环面

维数相同但拓扑不同。$T^2$ 有两个独立周期方向；$S^2$ 没有这种双周期回绕；${\mathbb{R}}^2$ 无界且不闭合。

In Configuration Spaces

机器人构型空间的拓扑决定哪些坐标值代表相邻构型。角度 $\theta =-\pi$ 与 $\theta =\pi$ 是同一个圆上的邻域，不是两个相距很远的端点；2R 机械臂的关节空间是环面 $T^2$，而不是普通正方形。

规划、插值和反馈控制若忽略拓扑，会在坐标边界附近产生错误。例如直接用欧氏差值处理角度，可能把 ${179}^{\circ }$ 到 $-{179}^{\circ }$ 的小变化当成接近一整圈的大变化。正确建模通常需要显式处理周期识别、多个坐标图，或使用带约束的冗余表示。

几何和拓扑应分开看：几何负责距离、曲率、碰撞形状和代价函数；拓扑负责连通性、周期性、洞和边界识别。两者共同影响运动规划和控制算法。